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in cui le X\(tf) , X"i(ff) , ... sono determinate univocamente dalle (7) me- 

 diante X^ff), che per ipotesi non è zero ; lo sviluppo così ottenuto è valido 

 in un intorno della funzione e. 



11. Consideriamo, per fare una prima applicazione particolare, l'equa- 

 zione della forma (6) 



X = /?X , 



dove fi è una funzione analitica regolare nell' intorno di x = 0. Le equa- 

 zioni (7) danno allora 



X x = /S2 0 , X 2 = -, ... j 



onde 



e lo sviluppo di X è 



CO 1 



(9) X(y) = 4 X -^ <n) • 



Indichiamo con a il massimo valore assoluto di §{g) entro il cerchio (r) 

 di centro x = 0 e di raggio r; sia poi S l'intorno della costante costituito 

 dalle serie di potenze convergenti in cerchi di centro x = 0 e di raggi su- 

 periori ad a. Essendo y un elemento di S, ed a -f- r' il suo raggio di con- 

 vergenza, sarà per ogni x preso entro il minore dei due cerchi (r) , (r') : 



kl + |/%)IO + r ' 



e quindi, entro quel cerchio, X(y) = g>(x -f Il ramo della opera- 



zione X dato dalla serie (9) non è dunque altro che il risultato, moltipli- 

 cato per h , della sostituzione di x + §(x) al posto di x in ogni elemento 

 di S. 



Se, in particolare, /? si riduce ad una costante a — p. es. positiva — 

 il ramo X ora trovato non è altro che \ 0 <p(x + a). Questo ramo non si ap- 

 plicherebbe a certe funzioni, ad esempio ad una funzione a che non si potesse 

 continuare fuori di un cerchio di centro x = 0 e di raggio <. a. Per otte- 

 nere un ramo di operazione soddisfacente all' equazione X' = aX e valido 

 intorno a tf, basta procedere come nel § 10; si ottiene così un ramo X! de- 

 finito da Xi(<r) = 1, ed il cui sviluppo, valido in un intorno di o\ sarà 



dove, come dianzi, la Ey è la forma differenziale lineare di prim' ordine 



