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12. Un caso particolare dell' equazione (6), più interessante del prece- 

 dente, si ottiene facendo Gt = D — x. L' equazione simbolica che ne nasce, 

 cioè : 



(10) X' = (D — x)X, 



è quella cui soddisfa la trasformazione di Laplace 



Relativamente a quest' equazione, le equazioni ricorrenti (7) prendono la 

 forma : 



( A, = (D — x) X 0 



{ ^n+i == (D — x) k n -(- nl„-i ■ 

 L' integrazione di questo sistema si eseguisce senza difficoltà, e si trova 



(11) l n = V n) — nxU n ~» + (»0 xW»-v f- (— 1)" x n X, ; 



questo risultato si ha immediatamente per i primi valori dell' indice, e si 

 dimostra poi in generale, deducendosi dall'equazione ricorrente che se la (11) 

 vale per l'indice ri, varrà anche per l'indice successivo n -f- 1. 11 ramo del- 

 l' operazione X, definita (univocamente) da X(fi) — X 0 , è dunque dato in un 

 intorno di /x, da 



(12) X( f i<f,) = X 0 <p-\- 



+ (*'o - xh) <p' H f- i (A 0 (K) - nxl^ -f ••■ (- 1)» x n K) <f™ + - , 



Si faccia in particolare À 0 = e acc ; viene: 



e— x( w ) = 9 + ( fl - x) <p> + ... yW + 



% * 



che per le funzioni di un intorno di ,« assai facile a determinarsi, non è 

 altro che (f(a). 



Facendo X(l) = — ., si ha un ramo dell' operazione in discorso dato da 

 ce 



da cui risulta 



*(*)=- 3, X (^) = y 



f 1 ) Infatti, la (10) non è altro che l'equazione a) della citata Nota dell'Arnaldi, 

 cioè una delle equazioni di definizione della trasformazione di Laplace. 



