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ed è questo il ramo della trasformazione di Laplace considerato al § 4 della 

 citata Nota del dott. Arnaldi. 



Sarebbe interessante di vedere qaule è la condizione affinchè un ramo 

 dell' operazione X definita dalla (10) soddisfi alla seconda equazione di defi- 

 nizione della trasformazione di Laplace: XD = — xX; ma non è qui il 

 luogo di insistere su ciò. 



13. Veniamo ora ad alcune applicazioni in cui la F dell' equazione (1) 

 non si riduca all' ordine zero, e consideriamo per prima 1* equazione, cui sod- 

 disfa la trasformazione di Eulero e la derivazione d'indice qualunque s: 



(13) DX' = sX . 



L'equazione ricorrente (3) si riduce in questo caso a 



DX„=4(s — n+ l)X n -i,, 

 da cui, fatto X(,u) = A 0 , X„(,u) = l n , viene 



/.„ = s(s — 1) ... (s — n + 1) D"Ao ■ 

 Si ha così, per il ramo della X determinato dalla condizione X(u)=A 0 , 

 e per un intorno della funzione ,u: 



00 



n=0 



Volendo aggiungere per un ramo dell' operazione definita da (13), la con- 

 dizione di essere commutabile colla derivazione, si soddisferanno le condizioni 

 perchè X sia derivata d'indice s. Ciò si può ottenere nel modo indicato al 

 § 108 del Mémoire . 



14. Il sig. Borei, nelle sue recenti ed interessanti ricerche sulle serie del 

 Taylor ( 1 ), ha fatto uso di un'operazione distributiva che egli definisce per 

 le potenze intere e positive di x, e quindi per l' intorno della costante, me- 

 diante le uguaglianze: 



X(s) = 1 , X«) = - . 



Questa operazione gode manifestamente, per ogni serie di potenze (p in- 

 tere e positive di x, della proprietà: 



DX{ag>) = X(g>) , 



che si può anche scrivere 



(H) DX' + ^DX 0 , 



poiché dalla definizione della derivazione funzionale si deduce 



DX' = DX(x(f) — xDX(<p) — X((f) . 

 (') Acta Mathematica, T. XX, pag. 243. 



