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Si può dunque assumere l'equazione simbolica (14) come definizione di 

 un'operazione; l'operazione di Borei sarà quel ramo dell'operazione così de- 

 finita, che è individuata dalla condizione X(l) = 1. 



Ora 1' equazione mista differenziale e alle differenze (3) si riduce, nel 

 caso dell' equazione (14), e posto X(ju) = A 0 , X (M> (^) = X n , alla forma : 



DA n+1 = — (xD -\-n)X n — nxK-\ , 



ossia 



(15) Ì'tn.1 -f- nl n -J- %(l' n + nK-i) = 0 . 



Questa si integra senza difficoltà; si ha infatti 



Aj = D _1 A 0 — xX 0 , 

 onde per sostituzione, ed applicazione dell'integrazione per parti (') 



A 2 = D-U 0 — 2xI)- 1 X 0 + x*X 0 , 

 e in generale, col solito passaggio da n ad n -\- 1 : 



X n = D~ M A 0 — n,vì)-^ l) A 0 + (n z ) x 2 J)- (n - 2) X 0 — - + (— 1)" x n X 0 . 



Talché, definendo un'operazione mediante l'equazione simbolica (14), il 

 ramo di questa operazione individuato da X(,u) — X 0 è determinato, nell' in- 

 torno della funzione (.i, dallo sviluppo 



00 



(16) X(ficp) =X -, (D-"A 0 — ^D- ( "- 1) A 0 +(«2)^ 2 D- Cn - 2) A 0 ... +(-l)Vl,)D>. 



n=a ìli 



La determinazione non è però univoca, essendovi nei coefficienti le co- 

 stanti che vi si introducono linearmente colle quadrature eseguite su A 0 . 

 Si noti che, dalla (16), segue: 



X(^) == X 0 , X(#ju) = D-'A 0 , ... X(a?» = D- n A 0 . 



Il ramo dell' operazione X determinato da X(l) = 1 e prendendo inoltre, 

 nelle quadrature D _1 s , D -2 s , ... 1' estremo inferiore in x = 0, coincide col- 

 l' operazione di Borei. 



15. Per ultima, consideriamo l' operazione definita dall' equazione sim- 

 bolica (non omogenea in X) 



(17) DX' = 1 , 



la quale, sebbene non rientri nel tipo (1), vi si avvicina però assai. Se po- 

 niamo anche qui 



X([x) = X 0 , X^(!.i) = X n 



(') Vale a dire, in generale, della formula (17) del § 89 del Mémoire. 



