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e sviluppiamo X(,u<p) secondo la formula (2), viene che le X' n) (fi) si deter- 

 minano immediatamente dalla (17), che derivata funzionalmente dà : 



X' + DX" = 0 , ... nX (n} -f DX (,l+1) = 0 , 



e quindi, poiché DX'(^t) = p , onde l x = D"> , viene 



U = — D~*p , X z = 2D"> , ... l n = (— — 1) ! D-> . 



Si ha così lo sviluppo 



1 ( i yi-i 



(18) X( W ) = *o<? + D"> . - 1 D"> . <p" + + L__A_ D -»^cn> + ... 



Qui la funzione A 0 è affatto arbitaria, e sono pure arbitrarie le costanti 

 che nascono dalla determinazione delle quadrature applicate a p. Da notarsi 

 il ramo dell'operazione X determinato da X(l) = 0, cioè 



(19) X(y) = D-4 . <p' - | D-l . y" + - + L -^ L - D" n l • <P m + - ■ 



Se applichiamo questa operazione alla funzione , ed assumiamo 



per le quadrature V estremo inferiore # — 0, si ottiene, con un calcolo facile, 



(20) x( r ^)=- r ^log(l-^). 



Colle medesime determinazioni, si trova 



/ 1 1 (_iy«-i\ 



X(*"») = («,) + 3 (»,) - - + * m , 



e dal confronto colla (20), si ha la formula di calcolo combinatorio 

 m--(0 + gK)-~+ — ^— = 1 + 2 + 3 + - + ^- 



Si noti che l' operazione definita in quest' ultimo paragrafo ammette un 

 ramo commutabile colla derivazione, e che soddisfa all'equazione simbolica 

 e * = D , per cui esso potrebbe indicarsi simbolicamente con log D. Questo 

 ramo dà l'operazione infinitesima generatrice del gruppo ad un parametro 

 delle operazioni D s . 



