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Cercati separatamente i baricentri 0! e 0 2 dei due sistemi S, e S 2 , 

 può darsi: 



1° che Oi sia distinto da 0 2 

 2° che Oi sia sovrapposto ad 0 2 . 

 Nel primo caso il sistema S ha per baricentro il punto all' infinito della 

 congiungente 0! 0 2 ; il suo momento statico rispetto a tutte le rette di un 

 fascio qualunque di raggi paralleli è costante; la conica direttrice della po- 

 larità è una parabola, e il teorema sussiste ancora e può dimostrarsi anche 

 direttamente in maniera assai semplice. 



Nel secondo caso il sistema S è privo di baricentro; il suo momento 

 statico rispetto ad un' asse qualunque del piano è nullo ; la conica inviluppo 

 fondamentale della polarità degenera in una coppia di punti appartenenti alla 

 retta all' infinito del piano, e il teorema non solo sussiste ancora, ma diviene 

 più generale. 



Sia infatti 0 la posizione comune ai due baricentri Oi e 0 2 . Conside- 

 rando un asse qualunque a troviamone i centri relativi A' e A" nei due 

 sistemi di masse S, e S 2 . Il centro relativo ad a nel sistema S sarà evi- 

 dentemente il baricentro dei due punti A' e A." affetti da coefficienti uguali 

 o proporzionali ai momenti statici di Su e S 2 rispetto ad a ; ma poiché tali 

 momenti statici sono uguali e di senso contrario, segue che il detto centro 

 è il punto all' infinito della congiungente AA" e pertanto è A' A" la dire- 

 zione coniugata ad a. Conseguentemente il centro relativo ad un' asse qua- 

 lunque del piano sta sulla retta all' infinito di questo, e tale retta all' infi- 

 nito può considerarsi come asse relativo ad un punto qualsivoglia del piano. 



Tracciamo un altro asse qualunque b non coniugato ad a. Uniamo A 

 e A" fra di loro e con 0 e diciamo M' e M" le intersezioni di OA' e OA" 

 con a\ tiriamo per A e A" le parallele ad a fino ad incontrare in C e D 

 r asse b ; e infine conduciamo per 0 e A" le parallele a b fino ad incon- 

 trare a in M e A' C in A. 



Il momento di 2° grado del sistema S rispetto ai due assi a e b è 

 espresso allora da 



(6) imxy = OM . Sm' . A 7 !! — OM . 2m" . A 77 !) = OM . A^A . 2m' . 



Ora restando fisso a , comunque si sposti b , purché parallelamente a sè stesso, 

 la distanza AA rimane invariata come la OM , e perciò 



Imxy = costante 



onde : 



se un sistema di masse distribuite in un piano è privo di baricentro, il 

 suo momento di 2° grado rispetto a due assi qualsivo gitano non 

 coniugati di cui uno resti fisso e l'altro si sposti comunque purché pa- 

 rallelamente a sè stesso, è costante. 



