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nel medesimo modo, oo 3 nuove superficie della medesima classe e così via 

 illimitatamente. 



La circostanza che: siffatte trasformazioni conservano le linee di cur- 

 vatura ed i sistemi coniugati, affatto analogamente come le note trasforma- 

 zioni complementari e di Bàcklund delle superficie pseudosferiche accresce 

 l' importanza del risultato conseguito. Ciò fa prevedere infatti che la trasfor- 

 mazione stessa, oltre che alle superficie a curvatura costante positiva isolate, 

 potrà anche molto probabilmente applicarsi ai sistemi tripli ortogonali con- 

 tenenti una serie di tali superficie, sistemi che erano rimasti fin qui inac- 

 cessibili alle trasformazioni. 



2. Nella presente Nota preliminare mi limiterò ad enunciare i teoremi 

 fondamentali, dai quali 1" accennata trasformazione dipende, lasciando loro 

 quella forma provvisoria che mi si è presentata in questi primi calcoli. Ma 

 penso naturalmente che gli studi successivi dovranno dare al risultato una 

 forma geometrica definitiva più semplice. 



Sia dunque 2 una superficie a curvatura costante positiva K, e facciamo 

 per semplicità K = -f 1. L' elemento lineare di 2, riferito alle linee di cur- 

 vatura u , v prende la nota forma ( l ): 



ds* = senh 2 e du 2 + cosh 2 6 dv 2 , 

 dove 6 è una soluzione dell' equazione a derivate parziali del secondo ordine 



, n \ i-? _l 11 -L S enh 6 cosh 0 = 0. 



Sopra la normale a 2 in ogni suo punto M si porti un segmento 



T = MM' , 



che considerato come funzione di u,v, soddisfi al seguente sistema simulta- 

 neo' di equazioni a derivate parziali, l'ima del 1°, 1' altra del 2" ordine, si- 

 stema che in forza della {a) è illimitatamente integrabile ( 2 ) : 



/ 1 1 (}l\ 2 =cT -(c+l) 



(senh 0 + T cosh tìf \ M ì T (cosh ti -f T senh tì) 2 \ ì») 

 \ VT V senhtf cosh ti \ jT 



^0 \cosh ti -f f senh ti ^ senh ti + T cosh ti) ~òu ìv 



(A) 



senh d + T coshfl V>_ VT . cosh ti -f T senh ti i0 

 + C0S h 0 + T senh tf Dm Dy ~^ senh 0 + T cosh 0 ~òv Du 



0) V. Lezioni, pag. 446. 



(2) Questo sistema di equazioni cui deve soddisfare il segmento T fu da me ritro- 

 vato applicando le formole della Nota precedente e il teorema nuovamente conseguito che 

 sulla superficie 2 normale ai raggi e sulla riflettente S si corrispondono 1 sistemi co- 

 niugati. 



