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Nella prima formula (A) c indica una costante arbitraria che per altro, 

 quando si assuma negativa, si supporrà (per restare a costruzioni geometriche 

 reali) in valore assoluto > 1 . L' integrale generale T del sistema (A) con- 

 tiene, oltre c, due nuove costanti arbitrarie c' , c" ; scriviamo 



T == T(u , v ; c,c', c") . 



Fissiamo ad arbitrio i valori delle tre costanti c , c' , e", sicché il 

 segmento 



(b) MM' = T(u,v; c , c' , e") 



avrà in ogni punto M di 2 un valore determinato. Ciò premesso, e supposto 

 che non sia nè — = 0 nè — = 0 , ecco i due teoremi fondamentali per 



la nostra trasformazione: 



1° Sopra la normale in ogni "punto M della superfìcie 2 a curvatura 

 costante positiva K = -J- 1 si porti il segmento MM' definito dalla (b); il 

 luogo degli estremi M' è una superficie S applicabile sull' ellissoide al- 

 lungato di rotazione se c<0 {cioè T 2 < 1), e invece sull' iperboloide di 

 rotazione a due falde quando <?>0 {ovvero T 2 >1); il semiasse mag- 

 giore nel primo caso e il semiasse trasverso nel secondo avendo una lun- 

 ghezza = 1 . 



2° Se i raggi MM' si riflettono sulla superficie S e sopra ogni raggio 

 riflesso si stacca, a partire da M' un segmento M'N = MM', il luogo del 

 punto N è una nuova superficie 2' colla medesima curvatura K = -f- 1, 

 le cui normali sono i raggi stessi riflessi. 



E chiaro così come, per ogni terna di valori attribuiti alle tre costanti 

 c , c' , c" , si ottiene dalla 2 una nuova superficie 2' applicabile sulla sfera. 

 L'integrazione del sistema (A) che, pel noto teorema di Mayer, si riduce 

 all' integrazione di un' equazione differenziale ordinaria del 2° ordine fa dun- 

 que nascere da .2, conformemente a quanto si è asserito al n. 1, una tripla in- 

 finità di nuove superficie colla medesima curvatura. Per ciascuna delle nuove 

 superficie ottenute si potrà manifestamente ripetere la medesima operazione 

 e così via illimitatamente, dove è da osservarsi inoltre che delle nuove equa- 

 zioni differenziali di 2" ordine da integrarsi è già nota una soluzione parti- 

 colare, quella che corrisponde alla superficie riflettente. 



È poi evidente che: // metodo stesso fa conoscere infinite deformate 

 per flessione dell' ellissoide allungato e dell' iperboloide a due falde di ro- 

 tazione. 



Osserverò ancora che teoremi perfettamente analoghi sussistono per le 

 superficie pseudosferiche, dove, secondo quanto ho stabilito nella precedente 

 Nota, varia soltanto la superficie riflettente, che può essere applicabile 

 sopra tre distinti tipi di superficie di rotazione. 



