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Resta per altro da esaminare se queste trasformazioni delle superfìcie 

 pseudosferiche hanno relazione con quelle già prima note e quali. 



3. Per dimostrare, almeno in un esempio, un'effettiva applicazione dei 

 nuovi metodi, parto della semplice soluzione 0 = 0 della equazione fonda- 

 mentale (a). Allora il sistema (A) diventa: 



(B) 



D 2 T 1 ìTìT 



l>u l>v T tu ~òv ' 

 Dalla seconda integrata si ha 



T = UV , 



essendo U , V rispettivamente funzioni di u , v. Sostituendo questo valore 

 nella prima, si ha 



^! + U2(r2 _,v 2 ) + ( tf + 1) = 0; 



questa si scinde nelle due 



( V' 2 — cY* = b 



dove b è una nuova costante. Si osservi che T = UV non si altera molti- 

 plicando U per un fattore costante e dividendo Y pel medesimo fattore, onde 

 si vede che, senza alterare la generalità, si può moltiplicare b per un fattore 

 quadrato qualsiasi. Così il numero delle costanti arbitrarie, che entrano nel- 

 T integrale generale T del sistema (B), è effettivamente di 3, conformemente 

 alle osservazioni generali. Di più, nel caso particolare che stiamo ora esa- 

 minando, avviene che le due nuove costanti c' , c" , additive in u , v rispet- 

 tivamente, non hanno alcuna influenza sulla forma della superfìcie, il can- 

 giare dei loro valori equivalendo soltanto a movimenti della superfìcie. Per 

 integrare il sistema (C) si distingua secondo che e è negativa o positiva. Nel 

 primo caso pongasi 



(«) c = — -p(a<l), b = jp 



e nel secondo 



(?) b = -± 



e si troverà rispettivamente {}) 



(!) Per quanto si è detto al num. precedente, si escludono i casi in cui U o V siano 

 costanti. 



