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Ora, nello stesso modo che y(x) si ottiene da f(x) ed f,{x) mediante 

 una speciale operazione distributiva (»), così anche la funzione tp(x) è otte- 

 nuta da a(x) , (f{x) mediante un' operazione distributiva, dalla cui conside- 

 razione, senza che occorra ricorrere ad integrali curvilinei, è possibile di ot- 

 tenere la dimostrazione del teorema del sig. Hurwitz, in un caso più gene- 

 rale di quello trattato dall'autore stesso nella citata Nota. 



1. Sia a(x) una funzione uniforme, regolare nell'intorno di x = oo e 

 nulla in questo punto, le cui singolarità siano rappresentate genericamente 

 con u; sia 



• a (x) = Y - 

 nell'intorno di x = 00. Costruisco la serie: 



( 2 ) À(,) = £(-!)- 0,2^- 



n=0 ni 



dove (f(x) è una funzione analitica arbitraria e <p ln \x) è la sua derivata 

 n stma . La serie (2) rappresenta un' operazione funzionale distributiva, e dalla 

 sua forma si scorge subito che essa è commutabile colla derivazione. 



2. Prendiamo come funzione (p(x) una funzione uniforme, regolare nel- 

 l'intorno di x = co, nulla in questo punto; siano v le sue singolarità; 

 nell' intorno di x = 00 si abbia 



Si vede allora immediatamente che per valori di x abbastanza grandi in 

 modulo, si ha 



A( 9 ) = m = l U ko + k x + 2*2=L> a n _ 2 k z + • • ■ + a 0 /c n ) ; 



/ x 



l'operazione (2) ci dà dunque, per tali valori di' a?, la funzione considerata 

 dal sig. Hurwitz. 



3. Ma, poiché l' operazione A è commutabile colla derivazione, essa sarà 

 pure commutabile coli' operazione funzionale 



^ = D° + £D + ^D*-j-... 

 che ha per effetto di mutare x in x -f z . Si avrà dunque 



8*A(<p) = ^ + *)=.--£(-l)« an + *) 



n— 0 W ! 



(!) Borei, loc. cit. Su questa operazione, v. una mia Nota nei Eendiconti della R Ac- 

 cademia delle scienze di Bologna (adunanza del 19 febbraio 1899). 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1» Sem. 30 



