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essendo € un numero positivo e minore di uno. Da questa condizione si trag- 

 gono varie conseguenze. 



6. Supponiamo dapprima che a(x) abbia la sola singolarità isolata 

 per x — u. Eatto allora 2 — u, la condizione (7) si riduce ad 



\x — (u -f- Vj)\^> 0 

 e la Afa) assume l'espressione 



(8) Afa) = V a n (u) = ip(x) . 



Questa espressione dimostra che le sole singolarità di ip(x) si hanno per 

 x = u-{-Vj essendo Vj un punto singolare qualunque di q(x). Inoltre, poiché 

 a„(u) ~ 0 , essa dà anche la natura di queste singolarità. In particolare, 

 se a(x) ha per x = u un polo di ordine k mo 



a ( x \ _ h. _i_ ^ , , _h 



v ' x—u^ix — u) 2 ^ ^{x — uf 



viene per xp(x) l'espressione: 



xp{x) = b^{x — u) + t> 2 <p'(x —u)^ f- Ò \ <f,*-»(x — u). 



7. Supponiamo poi che a(x) abbia m singolarità isolate nei punti u u u 2 ...u m . 

 Si può porre allora 



*L 00 1 



a(x) = 2_ cc^x) , ai(x) = y_ a in — — , 



z'=l »=o A 



dove è singolare come a(x) nel punto x~Ui,e regolare in ogni altro 

 punto del piano. Posto 



a in {s) = a i0 s n — non g n ~ y + \ 2 m% ^ h (— l) n «in , 



viene, poiché A è distributiva anche rispetto ad a(x): 



2=1 n—J ni 



che, per essere a in (ui) ~ 0, è singolare nei soli punti m -f vj. La formula (9) 

 dà inoltre la natura delle singolarità in questi punti. 



8. In generale, fissato 2, la curva limite del campo di convergenza 

 dello sviluppo (4) rispetto ad x è dato da 



\S — Ui\ = \x — 2 — Vj\. 



Questo limite è una circonferenza di centro z -f vj e di raggio \s — uA: 

 Essa passa dunque per il punto x = m + vj . Variando g di pochissimo, il 



