— 240 — 



Di qua segue tosto la costruzione di tutte le congruenze isotrope, e in 

 pari tempo la espressione generale pei coefficienti A , B (supposti reali) 



delle equazioni — — A — + B — , che ammettono infinite coppie di inte- 



~òs ~ì>x ~ì>y 



grali fra loro ortogonali. 



1. Alla cogruenza data [C] associamone due altre [1] e [2], che costi- 

 tuiscano con essa una terna ortogonale. Per individuarla, ci varremo dei sim- 

 boli ben noti del prof. Ricci (•). Si designerà la [C] con [3] e in generale 

 con l hfr , (r = 1 , 2 , 3) il sistema coordinato covariante della congruenza [A], 

 (A = l,2,3). 



Lo spazio si intenderà riferito ad un sistema di coordinate curvilinee 

 #i,«a,#8j che ci riserviamo di far coincidere, quando giovi, colle ordinarie 

 coordinate cartesiane ortogonali. Il supporle tali a priori non recherebbe al- 

 cuna maggiore semplificazione. 



Sieno Xi,Wz, x 3 le coordinate di P , x y + dx x , x % -f- dsc % , x 3 -f- dx 3 

 quelle di un generico punto Q, vicino a P in tt p . 



Detto ds il segmento elementare PQ , (fi = (p , (ft — |— (f gli angoli che 



esso forma colle direzioni positive delle linee 1 , 2, passanti per P, X 3jr -{-n r ds 

 i valori delle l 3jr in Q, avremo, colle notazioni del calcolo differenziale as- 

 soluto : 



2 



dx r = ds( gos cpl x ir) + sen g> V r) ) = ds J_ h cos g> h h (r) , 



(r = 1,2,3) 



3 dx 3 4 



ffy = J q l s/rg -jf = 2_1 hlrqZh COS <f h h' q) ■ 

 *T" Cu S ì ì 



(Per convincersene, basta notare che queste formule hanno carattere in- 

 variantivo e sussistono evidentemente in coordinate cartesiane ortogonali). 

 Introducendo gli invarianti y, definiti dalla formula generale: 



Ym = j_ rs X l/rs lf> h (s) , (l, j , k = 1 , 2 , 3) . , 



si ha: 



e quindi, ricordando che y 33h = 0, 1' espressione delle fi r diviene: 

 (1) [i r = J_ihk/rYsth cos <p h , (r= 1,2,3), 



(!) Cfr. principalmente: Dei sistemi di congruenze ortogonali h, una varietà qua- 

 lunque, nelle Memorie di questa Accademia, 1896. 



