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donde : 



fl<-r) = y. h ISD y 3ih C0S<p h , 



1 



3 



1 3 2 « 



(2) — = fl r (l™ = y ihjli y 3 ih Ysjk COS (p h COS (f h 2_r hfr V' = 



Q ì i i 



2 



2j wtJWs . ifioscfffioscpn^ylu -\-y 2 n i ) cos 2 ^ -f 2 (y 3 n/s 1 s+^i^cosysensp-}- 



Abbiamo designato^,- ;.i r p w con ^ , supponendo implicitamente^^ 00 

 i Q 1 



diverso da zero. L' ipotesi opposta equivale a p r = 0 , (r = 1 , 2 , 3). La con- 

 gruenza [T P ] si comporta allora, rispetto a U, come se fosse costituita da 

 rette parallele ; e non e è nulla da aggiungere. Ecco perchè si può escludere 



3 



a priori che y~ r annulli. 

 i 



In coordinate cartesiane, le A 3/r (o À 3 (r) ) sono i coseni direttori di t P e le 

 h/r + t*r ds (o 4 (r) + p ir) ds) quelli di £ Q (la direzione positiva sopra le t 

 corrispondendo a quella delle curve c). Diciamo ancora v r (o v (r) ) i coseni 

 direttori della minima distanza dp fra i P e £ a ; xp V angolo fra la direzione 

 positiva di dp e quella della linea 1, relativa al punto P; « l'ascissa del 

 piede di dp sopra U, contata a partire da P. 



Colla solita convenzione di risguardare equivalenti gli indici, congrui 



3 



fra loro rispetto al modulo 3, e notando che y_ r h/r p ir) = 0 , ]/a = \ {a 

 è il discriminante della forma fondamentale) potremo scrivere: 



( 3 ) r (r) = Q hll±l ^ — A 3/r + 2 t*r + l ^ ( r== 1,2,3), 



y a 



e (') 



(4) dpv w — ds ) cos (f V r) + sen y A 2 °'> + ap w \ , (r = 1 , 2 , 3) , 



le quali formule seguitano a sussistere in coordinate generali, purché si ris- 

 guardino anche le r (r) come elementi di un sistema contravariante. 

 Con facile trasformazione si trova: 



(3') v^=QG0$(p\y 3il X 2 Cr) — y3nh (r) {+Qsm]y-snh ln — J^V'I , (r=l,2,8) , 

 e da queste, moltiplicando successivamente per l vr , X 2 / r e sommando cia- 



3 



scuna volta rispetto ad r, ove si tenga conto che ]>_ r v°"> l l/r — cos xp , 



v ir) h/r = sen xp : 



i 



L cos xp — i — q) Yszi cos cp + y-322 sen <p \ 

 { sen i/* = q ) y 311 cos <f + Yais sen(p\. 

 (•) Cfr. per es. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, pag. 247. 



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