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Se si suppone che le linee 1 e 2 abbiano in ogni punto P le direzioni 

 dei piani principali, # è nullo e le (8) divengono : 



1 ( ^312 + ^321 = o , 



ossia (') le dette linee costituiscono il sistema canonico ortogonale rispetto 

 alla congruenza [3], e è è la differenza fra le due radici della equazione 

 curatteristica della congruenza. 



Se t q incontra t P , dovrà essere evidentemente (avuto riguardo al modo, 

 con cui rimane rissata dalle (3) la direzione positiva sopra la normale) 



TV 



(p = (/; -\- — , e, per individuare xp, si hanno dalle (5), le equazioni: 



a 



cos xp = q ) — ^322 cos xp -f- y 3ìì sen xp [ 

 sen V — q\ y 3l2 cosi{i — y 3ll senxp\ , 



ovvero, eliminando q, la: 



(11) ^321 tg 2 ^ + (y 31l — 7322) tg xp — y 3l2 — O. 

 Se invece si elimina xp, si ottiene: 



(12) ^ 2 + (/3, 1 + /322)?+l=0, 



la quale equazione, risultando dalla (7) a = q , ha per radici le ascisse g l ,q z 

 dei fuochi. 



Dalle (10) e (12) si trae: 



Ysn-\- Y322 



Vi + «2 — Ql + ?2 = — 



J 



cioè i punti limiti e i fuochi hanno il medesimo punto di mezzo, ecc. 



2. La condizione necessaria e sufficiente affinchè la nostra congruenza [3] 

 sia normale, è data, come si sa, da y 3ì2 — y m ■— 0 , la quale, a tenore 

 delle (11), (12) e (10), esprime che i piani focali sono ortogonali fra loro, 

 od anche che i fuochi cadono nei punti limiti. 



Se ó — 0, i punti limiti coincidono e (semprechè ciò avvenga per ogni 

 punto P del campo, che si considera) la congruenza [3] è a dirsi isotropa. 



La condizione di isotropia equivale a: 



7311 7322 — 0 



^312 + Y321 = 0 , 



(8") 



donde risulta ( 2 ) che la equazione caratteristica di [3] ha le radici eguali e 



(!) Ricci, Mem. cit , pag. 31. 

 ( 2 ) Ricci, ibidem, e pag. 44. 



