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quindi che, ad ogni integrale della equazione ]>_ r h {r) ^7 = 0 , ne corri- 

 sponde un secondo ortogonale. 



3. Affinchè una generica congruenza: 



dxi dxì dx% 



(13) ^(2) ^(3) 



3 



consti di linee rette, è necessario e basta che le y s X rs X (s> riescano pro- 



1 



porzionali alle X r , si abbia cioè, designando M un moltiplicatore arbitrario (')•' 



(14) f s X rs X (s) -MX r , (r = l,2,3). 



Ciò posto, io dico che, se [3] è una congruenza isotropa, e si suppone: 



(15) X r = X l/r =t ihir i (t = j/"^T , r = 1 ,2,3), 



le (14) sono soddisfatte. 

 Si ha infatti: 



(16) f s x„ = y s (x lfn ± a V rs)(^ s) ±= *v s) ) =■ 



1 1 



3 3_ 3 



T 1 1 



e, siccome, in virtù delle (8"), il coefficiente di si annulla, così segue 

 tosto : 



2> X rs X (s) = (y 1M + *>,„) X, , (r = 1 ,:2 , 3) , 

 giusta 1' asserto. 



Se dunque nelle (13) si intendono attribuiti alle X i valori (15), si 

 hanno due congruenze rettilinee immaginarie coniugate ed è ben chiaro che, 

 per ogni punto P, i raggi corrispondenti delle due congruenze sono le rette 

 cicliche situate in tt p . 



Reciprocamente, data ad arbitrio una coppia di congruenze coniugate, 

 costituite da rette cicliche, la congruenza [3], che rimane univocamente de- 

 terminata, è isotropa. Infatti l'annullarsi del coefficiente di A 3/r nelle (16) 

 porta per necessità le (8"). 



4. Possiamo valerci della proprietà, testé dimostrata, per costruire tutte 

 le congruenze isotrope. 



(') La verifica è ovvia, se si tratta di coordinate cartesiane ortogonali. Il carattere 

 invariantivo delle (14) ne assicura d'altra parte la validità, qualunque sia il sistema di 

 riferimento. 



