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Senza procedere oltre nella risoluzione del sistema (3) , (4) vediamone 

 il significato geometrico: la (3) ci dice che i punti , (xi) sono coniugati 

 rispetto all'assoluto; la (4) che i piani 



(«) dx 0 X 0 -\ f- dx 3 X 3 = 0 



e 



(dove con X; indichiamo le coordinate correnti) sono normali; ora il piano (a) 

 è il piano normale all'elemento della superficie S unente i punti Xi e 

 {xi -f- dxi) nel punto (#,-) perchè per la (2) si ha 



~^_Xi dxi = 0 . 



Il piano (/?) è pure normale alla retta unente il punto (x;) al punto 

 (Xi -\- dxi), ma non passa per il punto (xì) a meno che non sia Tic? == cost. 

 o ciò che non toglie per nulla la generalità, che non sia 



(5) l^ 2 = 1 . 



Ciò che dimostra una analogia e insieme una differenza da quanto av- 

 viene nello spazio euclideo. Di più se la (5) è soddisfatta, si può dare una 

 altra interpretazione finita. Posto 



Xi = Xi — j— Xj Xi ' Xj — Xi 



abbiamo 



^ TXi 2 = y Xi 2 = cost. 



(6) < X'XìXì = 0 



( TdXi*=XdXi 2 , 



cosicché la superficie luogo del punto (Xi) e quella luogo del punto (X,-) sono 

 applicabili e punii corrispondenti sono coniugati rispetto all' assoluto ; vi- 

 ceversa da una tale coppia di superficie si deduce una deformazione della 

 specie considerata e (diremo con modo improprio) due superficie che si cor- 

 rispondono con ortogonalità d' elementi, 



L' esistenza di tali deformazioni non può essere messa in dubbio ; basta 

 infatti porre 



■^o — - X\ ; X\ = Xo ; x% = — x% ; x% =— x% 



perchè le (3) , (4) , (5) sieno soddisfatte. Vedremo poi un' altra curiosa pro- 

 prietà di siffatte deformazioni. 



Procediamo ora a dimostrare la proprietà fondamentale della teoria, cioè 

 che il problema delle deformazioni infinitesime delle superficie nello spazio 

 euclideo e quello negli spazi a curvatura costante sono problemi affatto 

 equivalenti. 



