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Faremo vedere come, interpretando (ciò che è evidentemente lecito) i rap- 

 porti j ^ ^1 come coordinate cartesiane ortogonali nello spazio eucli- 



X% X% Xz 



deo, la superficie T di questo spazio, corrispondente alla S, ammette una 

 deformazione infinitesima, in cui le componenti dello spostamento secondo 1 



tre assi sono proporzionali a x 0 ,-x[ , x 2 col fattore di proporzionalità A = - 



a meno di un fattore costante. E sviluppando infatti 



ricordando le (2) , (3) , (4) si riconosce che a meno di un fattore finito esso 

 è uguale a 



(d log A?J- d \ogx 3 ) Z-Xi dxi 



e si annulla quindi se A è inversamente proporzionale a x 3 , ciò che prova 

 il nostro asserto. 



E si noti che, dette x , y , «, le coordinate cartesiane succitate, avremo 



x v y ! 



1 



insieme alle: 



— x — y 



— + yy+ **) 



t^3 



j/l+^ 2 + «/ 2 + ^ 



Da queste formule si deduce pure immediatamente che da una deforma- 

 zione infinitesima della T si ricava una deformazione infinitesima della S. 



Si osservi ora che nella rappresentazione ora considerata dello spazio 

 non euclideo, l'ordine dei contatti e_quindi anche le asintotiche delle super- 

 ficie si conservano ; e siccome ~x,y , s sono proporzionali a x 0 , x, , a?», si vede 

 che nei due spazi si corrispondono le rette perpendicolari alla direzione degli 

 spostamenti di due punti corrispondenti di S e T, poste nei rispettivi piani 

 tangenti; donde risulta il teorema: 



° Se noi per ogni punto della S tiriamo la geodetica normale alla dire- 

 zione dello spostamento, otteniamo una congruenza W ; vicevèrsa ogni tale 

 congruenza si può ottenere in questa maniera. 



