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La seconda falda focale J di questa congruenza W è l' inviluppo dei 

 piani polari dei punti di S rispetto all'assoluto; quindi: 



Le superficie S e 2 sono duali, ciò che non avviene per lo spazio eucli- 

 deo. Di più poiché per la S e la 2 i problemi delle deformazioni infinite- 

 sime sono affatto equivalenti, perchè tali sono i problemi analoghi per le 

 loro immagini nello spazio euclideo, e poiché una reciprocità muta una con- 

 gruenza W in un'altra W, si ha che: 



II problema delle deformazioni infinitesime per la S e quello per la S~ 

 sono in uno spazio a curvatura positiva costante affatto equivalenti. 



Si ha poi, come è chiaro: 



La seconda falda focale 2 della congruenza W generata da quella de- 

 formazione infinitesima della S che corrisponde alla considerata deforma- 

 zione della S, è la reciproca di S rispetto l'assoluto. 



Poiché ti. problema delle deformazioni infinitesime della superficie luogo 

 del punto (xi) in uno spazio a curvatura costante è equivalente al problema 

 analogo per la superficie dello spazio euclideo, luogo del punto: 



(Xq X\ 

 X — ~zr~ , y = — , 2 

 X3 %3 



si ha che: 



Date due superficie dello spazio euclideo T , T, corrispondenti per or- 

 togonalità d'elementi e detto (x_^y ,z) impunto generico della T e (x , y , i) 

 il punto corrispondente della T , il problema delle deformazioni infinite- 

 sime della T e quello della superficie luogo del punto : 



x z ) 



( 



X y 

 x = _ , y - 



xx-\-yy-{- zz xx + yy -f zz xx -\- ijy -\- zi 



sono equivalenti. 



Osservazione l a . Il teorema, che per superficie collineari i problemi delle 

 deformazioni infinitesime sono affatto equivalenti è ora messo in nuova luce 

 dal fatto che ai movimenti degli spazi a curvatura costante corrispondono 

 collineazioni dello spazio euclideo. 



Osservazione 2 a . Molti dei teoremi su notati si generalizzano, ricordando 

 che, a meno di quadrature, il problema delle deformazioni infinitesime a 

 meno di infinitesimi del second' ordine e quello a meno d'infinitesimi del- 

 l'ordine n esimo sono equivalenti. 



Osservazione 3 a . Poiché _la S è la duale della 2 e poiché quando 

 la (5) è verificata la S e la S si corrispondono (diremo così, sebbene non 

 correttamente) con ortogonalità di elementi, si ha la seguente curiosa pro- 

 prietà delle deformazioni infinitesime per cui la (5) è verificata: 



Le rette polari rispetto all'assoluto di due elementi s,a corrispon- 

 denti della S e della 2, incontrano il piano tangente a S(2) relativo al 



