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1' equazione G'(*) = 0 potrà trasformarsi nella G(y) = 0 con una sostituzione : 



y = A(*) = a,z + a x z' -\ f- a n - 2r -i s c *- 2r - n 



Tnella quale a„- 2 r-i + °- ., ,. 



È chiaro poi che, per k > r, le funzioni <f,{y™), benché non identica- 

 mente nulle, saranno tuttavia razionalmente note ; e ciò avverrà in parti- 

 colare per la stessa y(y) ove sia r = 0 (e si scolgano in modo opportuno 



le soluzioni yfì. . , 



Questa stessa proposizione si trova sostanzialmente enunciata (bencne 

 non dimostrata) nella Nota di Halphen: Sur les formes quadratiques dans 

 la théorie des équations différentielles linéaires (>)■ La condizione che la 

 forma cp sia invariante rispetto a tutte le sostituzioni del gruppo di razio- 

 nalità della data equazione non è da lui introdotta esplicitamente, ma può 

 ritenersi tacitamente presupposta, poiché questa invarianza formale è conse- 

 guenza necessaria dell'essere g(y) razionalmente nota ("), o in particolare 

 identicamente nulla ( 3 ), ogni qualvolta quest'ultima proprietà non sussista anche 

 per altre forme quadratiche nelle soluzioni y t . Però Halphen non fa alcun 

 cenno della condizione che il discriminante della forma cp debba essere di- 

 verso da zero; condizione che a me è risultata invece essenziale, almeno 

 finché non si impongano a quel gruppo di razionalità delle condizioni ulte- 

 riori tali da rendere invariante rispetto ad esso, oltre alla forma polare di 

 y , anche un' altra forma bilineare, di determinante non nullo. Credo perciò 

 opportuno mostrare donde proviene questa apparente contradizione. 



2. E comincio col richiamare un caso particolare di questa proposizione, 

 considerato dallo stesso Halphen nella Memoria: Sur les invariants des équa- 

 tions différentielles linéaires du quatrième ordre ( 4 ), e per il quale egli ha 

 anche determinata la corrispondente sostituzione y = A(s), Si tratta del caso 

 n = 4 , r = 1 , ossia di un' equazione differenziale lineare di 4° ordine, di cui 

 quattro' soluzioni distinte sono legate da una relazione quadratica omogenea 

 a coefficienti costanti. Se questa relazione ha il discriminante nullo, essa può 

 ridursi a contenere tre sole delle quattro soluzioni y t , e può assumere quindi 

 la forma: 



yx y* — y\ = Q- 



L'equazione differenziale di 4° ordine G(y) = 0 ammetterà allora tutte 

 le soluzioni C, y, + C 2 y t + C 3 y 3 di una certa equazione differenziale lineare 



(i) Compi Kend. de l'Ac. d. se, t. CI (1885); p. 664-66. 



(2j Ossia, nel linguaggio usato da Halphen, eguale a una nota funzione della varia- 

 bile indipendente x. 



(3) In questo caso perù la forma cp(y) sarebbe soltanto invariante a meno di una 

 costante moltiplicativa. 



(*) Acta math., voi. Ili (1883); P- 349 e seg. 



