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di 3° ordine, che si potrà formare razionalmente, e che a sua volta dovrà 

 essere soddisfatta dai quadrati di tutte le soluzioni di un' equazione differen- 

 ziale lineare di 2° ordine (e inversamente). Se quest' ultima equazione la 

 supponiamo ridotta alla forma: 



y" +py = o 



quell'equazione differenziale di 3° ordine sarà: 



0) y'" + W + 2p'y = o; 



e l'equazione lineare più generale di 4° ordine che ammette tutte le solu- 

 zioni di quest'ultima equazione avrà allora la forma ('): 



(y' + qy)W" + W + 2/ y ) = o 



dove le espressioni fra parentesi devono considerarsi come simboli di opera- 

 zioni (delle quali la prima è da eseguirsi sul risultato della seconda) ; quindi, 

 per disteso: 



(2) y lv + qy" + 4pf + (6/ + 4 pq) y' + 2(p" + p'q) y = 0. 

 L'equazione aggiunta di questa è: 



(2') z"—q/"+ (4p - Sq')z"- (Sq"~ 2 p'-\- 4pq)/- (q"'+ ±pq'+ 2p'q) *=0. 



Calcolando pertanto per quest'ultima equazione la sostituzione con cui 

 Halphen afferma ch'essa si trasforma nella (2) (Mem. cit., p. 350), si trova: 



(3) y = qz — / . 



E la funzione y così definita soddisfa bensì alla (2), ma soddisfa pure 

 alla (1); essa non è quindi soluzione generale della (2), e la vera trasfor- 

 mata della (2') mediante la sostituzione (3) sarà pertanto la (1), e non già 

 la (2). Ciò va d'accordo anche col fatto che la (2'), essendo aggiunta 

 della (2), e potendo perciò rappresentarsi simbolicamente col prodotto: 



(*"' + àpi -f ìp'z){z —qz) = Q (2) 



deve ammettere la soluzione (unica, a meno di una costante arbitraria mol- 

 tiplicativa) dell'equazione differenziale di primo ordine z' — qz = 0, e deve 



0) Cfr. ad es. Schlesinger : Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichun- 

 gen, voi. I, p. 45-46. 



( 2 ) Cfr. ad es. Schlesinger, op. e voi. cit, p. 59. Questi due fattori sono rispett. gli 

 aggiunti (cambiati di segno e) in ordine invertito dei due con cui si compone il primo 

 membro della (2). Iti particolare la forma di differenziale y'" ■+- 4py' -+■ 2p'y coincide (a 

 meno del segno) colla propria aggiunta. 



