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quindi trasformarsi colla sostituzione (3) in un'equazione differenziale di 

 ordine inferiore al proprio di un' unità (>)• 



In questo caso dunque 1' equazione G'(s) = 0 aggiunta di G(y) = 0 si 

 trasforma non già nella stessa G(y) = 0, ma in un' equazione di ordine in- 

 feriore (con coefficienti appartenenti allo stesso campo di razionalità), della 

 quale G(y) = 0 ammette tutte le soluzioni ; si trasforma cioè (come potremo 

 dire brevemente) in un divisore razionale di G(y) = 0. È in questo senso 

 pertanto che deve intendersi la proposizione già enunciata da Halphen (e da 

 lui anche dimostrata per n = 4), nel caso in cui la forma g> abbia il di- 

 scriminante nullo; sussiste cioè il teorema: 



Se uri equazione differenziale lineare di ordine n è tale che sia for- 

 malmente invariante rispetto alle operazioni del suo gruppo di razionalità, 

 e nerciò anche razionalmente nota, una forma quadratica <p{y), a coeffl- 



J /a n — X \ 



demi costanti, fra n sue soluzioni distinte; e si indica con r^0<r<— j 



il rango di essa rispetto a questa forma, l'equazione aggiunta di essasi 

 trasformerà con una sostituzione razionale: 



„(«— ir— l) 



y = a Q S -\- ad -\- ■■■ -}- CL n -zr-\ * ( 



in un divisore razionale della stessa equazione proposta, di ordine eguale 

 alla caratteristica del discriminante della forma <p\ e quindi nella stessa 

 equazione proposta, se questo discriminante non è nullo. 



Infatti, se il discriminante di cp ha la caratteristica m (<n; e >2, 

 non potendo cp spezzarsi nel prodotto di due forme lineari), noi potremo ri- 

 durre la forma stessa, con un' opportuna sostituzione lineare, a contenere sol- 

 tanto m variabili (rispetto alle quali il suo discriminante sarà diverso da 

 zero) ; e potremo allora scegliere le n soluzioni distinte Vi dell' equazione 

 proposta G(y) = 0 in modo che m fra queste, ad es. le y x , y 2 ... y m , e le 

 loro derivate di uno stesso ordine, rendano <f razionalmente nota, e eventual- 

 mente nulla. Il sistema lineare di soluzioni G x y, + C 2 y 2 + + G m y m sarà 

 allora invariante rispetto a tutte le sostituzioni del gruppo di razionalità 

 dell'equazione proposta; e queste stesse soluzioni dovranno perciò soddisfare 

 a un' equazione differenziale lineare di ordine m , Q(y) = 0, i cui coefficienti 

 apparterranno ancora allo stesso campo di razionalità. La forma differen- 

 ziale G(y) si potrà quindi rappresentare simbolicamente con un prodotto: 



G(y) = PQ(y) 



essendo P un' opportuna forma differenziale lineare di ordine n — m, a coef- 

 ficienti pure razionalmente noti. E se con G r , F , Q' indichiamo le forme dif- 

 ferenziali aggiunte rispett. di G , P , Q , avremo altresì : 



G'(*) = Q'P'(4 



(i) Schlesinger: op. cit., voi. II, p. H4. 



