— 289 — 



Ora, il gruppo di razionalità dell' equazione differenziale Q(y) == 0 non 

 è altro che l' insieme delle sostituzioni determinate sulle y l , y % , ... y m dal 

 gruppo di razionalità di G(y) — 0 ; e poiché queste sostituzioni lasciano in- 

 variata (formalmente) la y>(y x ... y m ) (che, come forma ad m variabili, ha il 

 discriminante non nullo), così 1' equazione Q'(^) == 0 aggiunta di Q,(y) = 0 

 dovrà potersi trasformare in quest' ultima (in forza del risultato già ottenuto 

 nella mia Nota cit.) con una sostituzione y = A(z), nella quale le derivate 

 di z compariranno soltanto fino all' ordine m — 2r — 1 incluso, se con r in- 

 dichiamo il rango di G(y) = 0, e quindi anche di Q(y) = 0, rispetto alla 

 forma <p. E siccome d'altra parte la sostituzione: J= P'(f) trasforma eviden- 

 temente 1' equazione G'(z) = 0, nella Q'(J) — 0 ; così, mediante il prodotto 

 di queste due operazioni, ossia ponendo : 



y = A?'(z) 



dove le derivate di s compariranno fino all' ordine (m — 2r — 1) -f- (n — m) 

 = n — 2r — 1 incluso, noi potremo trasformare l' equazione Gr'(^) — 0, ag- 

 giunta di G(y) = 0, non già in quest'ultima equazione, ma nel suo divisore 

 razionale di ordine m, Q,(y) = 0. 



Quest' equazione Q(j/) = 0 appartiene anzi alla stessa specie della pro- 

 pria aggiunta (secondo la definizione contenuta nella mia Nota cit.) : non così 

 però la G(y) = 0. 



3. Un ragionamento completamente analogo permette di concludere che 



se un'equazione differenziale lineare di ordine n è tale che sia formal- 

 mente invariante rispetto alle operazioni del suo gruppo di razionalità, e 

 perciò anche razionalmente nota, una forma bilineare alternante a coeffi- 

 cienti costanti fra n sue soluzioni distinte y { e le loro derivate prime, e si 

 indica pure con r il rango dell' equazione differenziale proposta rispetto a 

 questa forma ('), l'equazione aggiunta della proposta si trasformerà con 

 una sostituzione razionale: 



y = «„* ad -j f- a n - 2 r-2 z (n - ìr ~ ,l) 



(dove a„_ 2r _ 2 =j= 0) in un divisore razionale di quest' ultima equazione, di 

 ordine eguale alla caratteristica (che è certo numero pari) del determinante 

 della forma alternante considerata. 



La dimostrazione è fondata anche qui sulla proprietà di questa forma 

 alternante di potersi trasformare linearmente in un' altra di determinante non 

 nullo, nella quale le variabili di ciascuna serie siano in numero eguale alla 



(') Se si suppone cioè che questa forma alternante si annulli identicamente quando 

 in luogo delle yi e loro derivate prime si introducono rispett, le derivate y^ e ^ i < ft + 1 > 

 per k<r; e non si annulli invece quando vi si introducono le yé^ e yi< r + l ). 



