— 290 — 



caratteristica del determinante primitivo (e risultino altresì affette dai me- 

 desimi indici). In linguaggio geometrico, si tratta semplicemente della pro- 

 prietà di una quadrica o di un complesso lineare di uno spazio S n _, , i quali 

 siano » - m volte degeneri, di potersi ottenere come proiezioni di varietà 

 omonime non degeneri di uno spazio S m _, da uno spazio S n - w -i (asse) non 



incidente a quest' ultimo. 



Questi due teoremi non sono però invertibili; perchè se 1 equazione 



= o aggiunta di G(y) = 0 si trasforma con una sostituzione razionale 

 y = A(*) in un divisore razionale Q(y) - 0 della stessa G(y) = 0 , questo non 

 basta nemmeno per concludere che V equazione differenziale Q(y) = 0 appar- 

 tenga alla stessa specie della propria aggiunta, e si possano perciò applicare 

 a quest'ultima equazione i risultati della mia Nota cit. 



Sia infatti S(y) = 0 un' equazione differenziale dello stesso ordine m di 

 Q(«) = 0, e tale che la sua aggiunta S'(*) = 0 appartenga alla stessa specie 

 di Q(y) = 0, e si trasformi perciò in quest'ultima con una sostituzione ra- 

 zionale y = A.(z). Formiamo V equazione differenziale lineare G(y) — 0 di 

 ordine 2m che ammette tutte le soluzioni delle due equazioni Q(y) = 0 e 

 S(y) = 0 (e che ha perciò per integrale generale la somma degli integrali 

 generali di queste due equazioni). Avremo allora: 



G(y) = FQ(y) = RS(y) 

 essendo P e R opportune forme differenziali di ordine m. E passando alle 

 forme aggiunte: GT^) == Q'P'(«) = S'R'OO- 



E poiché la sostituzione y=A.(x) trasforma S"(*)==0 in Q(//) = 0, 

 così la sostituzione y = ÀR'(*) dovrà trasformare G'(,) = 0 nella stessa 

 q[y) = o ; e ciò senza che su quest' ultima equazione si sia fatta alcuna ipo- 

 tesi particolare. . 



Si può domandare infine se un teorema analogo ai precedenti non su - 

 sista anche per il caso in cui le sostituzioni del gruppo di razionala del- 

 l' equazione differenziale proposta trasformino in sè stessa una forma bilineare 

 non simmetrica nè alternante, il cui determinante abbia una caratteri- 

 stica m < n. Ma la risposta è negativa. 



Infatti, se la forma bilineare Z**^ , il cui determinante suppor- 

 remo avere la caratteristica »<», è simmetrica o alternante i due 

 sistemi lineari di dimensione m - 1 determinati rispettivamente dalle forme 

 e I^<?* (dove, per maggior chiarezza, indichiamo le variabili 

 con' una nuova lettera Q ) coincidono; mentre invece negli altri casi questi 

 stessi sistemi lineari, pur potendo coincidere, sono in generale distinti. 

 In ogni caso poi questi due sistemi lineari sono legati invanantivamente 

 alla forma bilineare proposta. Da ciò si trae che, applicando alle due 



