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serie di variabili & e rjì una medesima sostituzione lineare, noi po- 

 tremo bensì trasformare quest' ultima forma in un' altra contenente soltanto 

 m delle nuove variabili £ e altrettante delle rj , e avente rispetto a queste 

 il determinante (di ordine m) non nullo ; ma queste ? e rj non saranno af- 

 fette in generale — ove la forma non sia simmetrica nè alternante — dai 

 medesimi m indici; e noi non potremo perciò considerare la nuova forma 

 come invariante rispetto a un gruppo di sostituzioni lineari, quale ad es. 

 il gruppo di razionalità di un' equazione differenziale lineare, nè introdurre 

 in essa le soluzioni y t di quest'equazione e le loro derivate, se non consi- 

 derando la forma stessa come tale rispetto a due serie di un numero > m di 

 variabili (in modo da comprendere tutti gli indici). E allora il suo determi- 

 nante sarà ancora nullo, e non si potranno perciò applicare le considerazioni 

 analoghe a quelle del n. 2. 



A chi ha famigliarità con considerazioni geometriche, basterà d' altronde 

 ch'io ricordi che una reciprocità di uno spazio S n _! il cui determinante 

 abbia la caratteristica m <n — 1 si riduce a una reciprocità non degenere 

 tra due forme fondamentali di spazi aventi per sostegni rispettivi due § n -m.-\ . 

 Questi due spazi coincidono certo se la reciprocità è involutoria; ma negli 

 altri casi sono in generale distinti; e soltanto quando essi coincidano, alla 

 considerazione della reciprocità proposta si può sostituire (come a noi occorre, 

 volendo estendere il teorema del n° 2) quella di un' analoga corrispondenza 

 non degenere in uno spazio inferiore. 



Matematica. — Contributo alla determinazione dei gruppi 

 continui in uno spazio ad n dimensioni. Nota del dott. P. Medo- 

 lagi-k, presentata dal Socio Cerruti. 



Alcune antiche ricerche di Engel ed altre più recenti di Picard hanno 

 mostrato la corrispondenza che c' è tra i gruppi finiti ed infiniti e certi spe- 

 ciali gruppi finiti. 



Io mi ero proposto già da qualche tempo di adoperare questa corrispon- 

 denza come mezzo di ricerca nel problema della determinazione di tutti i 

 gruppi di uno spazio ad n dimensioni. Presto mi accorsi che il metodo non 

 avrebbe avuto che le apparenze della novità: in sostanza esso coincide col 

 metodo basato sugli sviluppi in serie dei coefficienti delle trasformazioni infi- 

 nitesime nell' intorno di un punto generico ; ma soltanto nella supposizione 

 che le trasformazioni di ordine zero siano permutabili, cioè riducibili alla 

 forma: p x , ...p n . 



Le considerazioni raccolte in questa Nota, mentre spiegano la ragione 

 di tale differenza in due metodi egualmente generali, mostrano che in realtà 



