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a rappresentare l' insieme dei gruppi transitivi bastano quei gruppi che con- 

 tengono le traslazioni. 



1. Se la trasformazione y x = y { {x x ... x n ) , * = 1 ... » , lascia invariante 



la espressione differenziale quadratica 



1...W 



,X = 1 



(1) 



s , •> 



le funzioni fi soddisfano alle condizioni: 



(2) f i ,x^... Xn ) = y^,{y..--yn)— ilsXx t 



Secondo la natura delle funzioni /-,, il sistema può essere completamente 



integrabile, o avere nell' integrale generale meno di w(w ^" 1) costanti, od anche 



ammettere la soluzione unica y i = x i ; il supporre che sia completamente 

 integrabile non basta a caratterizzare il gruppo dei movimenti, perchè è noto 

 dai lavori di Lie sui fondamenti della geometria che questi movimenti sono 

 riducibili a due diversi tipi: il gruppo dei movimenti euclidei: 



(3) p k , XpPk — XHPp k,ix = l...n 

 e quello dei movimenti non euclidei: 



n 



(4) p* — abbati p* , ty.Ph — XkPp. &,p=l.~». 



Cercando d'altra parte la forma di Engel per le equazioni di definizione dei 

 gruppi (3), (4), si trova che questa forma è comune ai due gruppi; essa è 

 appunto la (2). Qui dunque le equazioni di definizione sotto la forma di 

 Engel rappresentano due gruppi, uno dei quali contenente le traslazioni. 



* Sarebbe facile trovare altri casi consimili ; mi limito ancora ad accennare 

 il più caratteristico: quello dei gruppi transitivi ad n parametri nello spazio 

 ad n dimensioni. Questi gruppi, che già perrc = 2 appartengono a tipi 

 diversi, hanno comuni le equazioni di definizione sotto la forma di Engel, 

 la quale è: 



nMxi > - x») = 1.9*,« fa - Vn) ~ A , e = 1 ... n . 



Prendendo p. es. 



g>» , ; = 0 (A =4= , <Pk,H=i • 

 si ha il gruppo delle traslazioni: 



e disponendo opportunamente delle sp m si otterrebbero tutti gli altri. 



