— 293 - 



2. Dimostrerò ora per ogni caso che le equazioni di definizione, quando 

 vengono assunte sotto la forma di Engel, rappresentano in generale gruppi 

 diversi, e che tra questi ve ne è sempre uno almeno che contiene come 

 sottogruppo il gruppo delle traslazioni. 



Consideriamo successivamente i sistemi: 



G 



S US n {x) = I ft | US, (y) , ... uS m (y) ; 



s- 1 



W = ift ^ roj ytj) , 

 us h (x) = I ft | uS, (y) , 





■] 



~òX 1 









~òX i 







ì 















A = 1 ... m 



in cui us(y) , us (y) stanno per brevità in luogo di w (y, ... y„) , (y, ...y w ) , 

 e le us , tu sono due sistemi di funzioni determinate in modo che ciascuno 

 dei sistemi G, F sia completamente integrabile. Le G siano le equazioni di 

 definizione di un gruppo G; allora anche r è un gruppo, ed S , S" 1 sono 

 due schiere. Le proprietà delle funzioni I k permettono facilmente di stabilire 

 che la trasformazione più generale della schiera S si ottiene facendo seguire 

 ad una trasformazione particolare della schiera stessa la trasformazione più 

 generale del gruppo G , e che la schiera S" 1 si compone di tutte le trasfor- 

 mazioni inverse a quelle di S . Combinando queste due osservazioni si arriva 

 al risultato che la schiera S si compone di tutte le trasformazioni che tras- 

 formano il gruppo G in r. Condizione necessaria e sufficiente perchè i gruppi 

 G e r siano simili è dunque la integrabilità del sistema S. 



Grazie alla natura delle funzioni I k , la condizione di integrabilità si 

 può presentare sotto un aspetto invariantivo : consideriamo le us 1 (x) , ... as m (x) 

 come funzioni del punto nella varietà x, ...x n (come sarebbero p. es. le 

 E (u , v) , F 0 , v) , G (u , v) su una superficie di cui si conosce l'elemento 

 lineare); le S possono allora considerarsi come le forinole di trasformazione 

 delle funzioni us 1 (x) , ... us m (x) per un cambiamento di coordinate. A queste 

 forinole si potranno aggiungere quelle che rappresentano le trasformazioni 

 delle derivate prime, seconde, ... delle funzioni us y ... w m ; e si determineranno 

 quelle espressioni formate con le us e le loro derivate che restano invarianti 

 per ogni cambiamento di coordinate. 

 Sia: 



«i (usi (x) , ... as m (x); , ..\ 



« r (*i (x),...us m (x); ^~'-) 



il sistema completo di questi invarianti. 

 Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1° Sem. 



