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Per riconoscere se il sistema S , (od S- 1 ) , è integrabile, bisognerà cal- 

 colare anche le espressioni: 



<i \ rt(y) ,- & (y); ~ òaSl 



liyi 



e vedere poi se il sistema: 



(5) 



Or (X) , ... tì m (X) ; || , .-.) = ccr (i, (|/) , - (2/) ! ^ , •••) 

 è compatibile. 



Notiamo a questo punto che se il sistema S è integrabile, il suo inte- 

 grale generale ha lo stesso grado di generalità (per quel che si è visto sulla 

 natura delle soluzioni di S) dell'integrale di G; e che se G è transitivo, 

 tra le sue equazioni di definizione non ve ne è nessuna di ordine zero. Non 

 ve ne sarà dunque nessuna nemmeno nel sistema S , e poiché le equazioni 

 (5) appartengono al sistema S e sono di ordine zero, esse devono ridursi a 

 delle identità : ciò che, data la natura di quelle equazioni, non può avvenire 

 altro che supponendo costanti gli invarianti a l ...a m . 



Senza insistere maggiormente sulle condizioni di equivalenza di due 

 gruppi, basta per lo scopo attuale osservare che le funzioni aj, {x) , ... & m {x) 

 sono soggette soltanto alle condizioni: 



<, j (x) , ... «*„ (x) ; ^ , ... | — costante 



«, | *, (x) , ... ar m (x) ; ^ , ... | = costante 



È facile infatti riconoscere che inversamente ogni gruppo G le cui fun- 

 zioni «, {x) ... bs„ (x) soddisfano alle (6) è transitivo e le sue equazioni G 

 formano un sistema completamente integrabile. Alle condizioni (6) si sod- 

 disfa certamente prendendo per off, ... as n delle costanti, nel qual caso il 

 gruppo G contiene il sottogruppo delle traslazioni (*); quindi tra i gruppi 

 che vengono rappresentati da uno stesso sistema di Engel ve ne è certamente 

 uno che contiene tutte le traslazioni. 



3. Un gruppo qualunque si assume ordinariamente come rappresen- 

 tante di una schiera infinita di gruppi ; di tutti quelli cioè che si deducono 

 dal dato con un cambiamento di variabili. 



(i) Comptes rendus; 25 aprile 1898. 



