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Se si pensa che dato un grappo è sempre possibile presentare le sue 

 equazioni di definizione sotto la forma di Engel, sembrerà giustificato 1' as- 

 sumere quel gruppo come rappresentante di tutti quegli altri che banno a 

 comune con esso la stessa forma. E siccome tra questi vi è sempre, come 

 si è visto precedentemente, un gruppo con le traslazioni si potrà ogni volta 

 assumere come rappresentante appunto questo gruppo. Il problema della 

 determinazione dei gruppi continui in uno spazio ad n dimensioni viene così 

 considerevolmente semplificato. 



Matematica. — Sulle equazioni a coppie di integrali orto- 

 gonali. Nota di T. Levi-Civita, presentata dal Socio Beltrame 



Le equazioni 



( E ) ^ A ^ + B 7y 



tali che, per ogni famiglia f,{x , y , z) = cost di superficie integrali, ne 

 esiste un'altra ortogonale f^{x , y ,*) = cost, sono tutte e soltanto quelle, 

 le cui caratteristiche 



dx dy _ . 



godono della seguente proprietà: 



Le rette cicliche, che, corrispondentemente ad ogni punto P dello spazio, 

 giacciono nel piano n, nonnaie in quel punto alla caratteristica, non esau- 

 riscono, come nel caso generale, il complesso ciclico, ma formano soltanto 

 un sistema co 2 , cioè due congruenze (coniugate, quando i coefficienti A e B 

 sono reali). 



Ho stabilito non è guari questo risultato con procedimento analitico (')• 

 Eccone una brevissima dimostrazione sintetica. 



Sieno P e Q due punti generici dello spazio, n e % i rispettivi piani 

 normali alle caratteristiche. Per ogni famiglia f{x , y , z) = cost di superficie 

 integrali, diciamo ordinatamente a e b le intersezioni con n e % dei piani 

 tangenti a , /? in P , Q. 



Facendo variare la famiglia f, si viene a porre una corrispondenza fra 

 le rette a del fascio (n , P) (così designamo il fascio, che appartiene al 

 piano n ed ha P per centro) e le rette b del fascio (% , Q). Per la natura 

 della equazione (E), questa corrispondenza è tale che, ad una coppia qua- 

 lunque di rette ortogonali del primo fascio, corrisponde nel secondo una coppia 



(i) Cfr. la Nota precedente: Sulle congruenze di curve. 



