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Matematica. — Sulla risoluzione delle equazioni di sesto 

 grado. Nota del Socio Straniero F. Klein. 



(Estratto da una lettera al sig. Castei.nuovo). 



... Per quanto riguarda le equazioni di sesto grado, possiamo valerci ora 

 del gruppo elegante di 360 collineazioni piane, che fu scoperto dal sig. 

 Valentiner, e fu poi studiato a fondo, per la prima volta, dal sig. Wiman 

 nel voi. 47 dei Mathematische Annalen. 



Siano x Xì x z ...%<> le radici della equazione di sesto grado. Si devono 

 cercare tre funzioni , z 2 , z 3 di queste radici, i cui rapporti subiscano le 

 sostituzioni del gruppo nominato, in corrispondenza alle permutazioni pan 

 delle x. Quelle funzioni non possono però esser razionali, giacché il gruppo 

 delle 360 collineazioni piane non è oloedricamente isomorfo ad un gruppo di 

 sostituzioni lineari, omogenee, ternarie, come fu già osservato dal sig. Wiman. 

 Sta invece il fatto che il minimo gruppo isomorfo di sostituzioni lineari, 

 omogenee, ternarie, che si può costruire, contiene il numero triplo di opera- 

 zioni del gruppo di collineazioni; e precisamente alla collineazione identica 

 corrispondono le tre sostituzioni. 



(1) d x =fi 1 ,£ % =j' t **, (j = e 3 ;v = 0,l,2) 



Ora si domanda quale sia il modo più semplice per costruire tre fun- 

 zioni irrazionali delle Xl ...x Sì i cui rapporti si permutino in corrispon- 

 denza col nostro gruppo di collineazioni. A tal fine io propongo di ricorrere 

 alla teoria delle curve piane del terzo ordine, e in particolare dei loro flessi. 

 Infatti una forma cubica ternaria delle z, , z 2 , z 3 , o delle variabili contra- 

 gredienti », , w 2 , w 3 , non subisce alcuna alterazione in conseguenza delle 

 sostituzioni (1), e quindi essa subisce solo 360 trasformazioni in corrispon- 

 denza alle 3.360 sostituzioni delle w lt w t , io 3 . Segue che si possono su- 

 bito formare delle funzioni razionali delle x x . . . a?« , le quali, in corrispon- 

 denza colle sostituzioni pari delle x , subiscano le stesse sostituzioni lineari 

 che le diverse espressioni di terzo grado nelle w x , io* , w 3 . In altre parole: 

 si può associare in modo covariante alle x, . . . x 6 una curva del terzo 

 ordine del piano *, , z % , * 8 • Ciò fatto, si può scegliere uno dei nove flessi 

 della cubica come punto covariante rispetto alle x x . . • . La determina- 

 zione di un tal flesso non esige, come è noto, altre irrazionalità che quelle 

 esprimibili mediante radici cubiche e quadratiche. E così, col sussidio di 

 irrazionalità accessorie, si perviene alla meta che si suole riguardare come 

 elementare. 



