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sommi, di presentire e chiaramente vedere le più nascoste verità, assai prima 

 che la luce di un rigoroso ragionamento scopra e rischiari la sicura via che 

 ad esse conduce, si rivelarono all' ammirazione del mondo matematico in una 

 serie incessante di produzioni scientifiche del più alto valore. 



Mal si potrebbe in poche pagine, e per me specialmente, parlare di tutti 

 i titoli di gloria, che fanno chiaro il nome di S. Lie. Basti accennare rapi- 

 damente ai principali. 



Una delle sue più geniali scoperte è quella della teoria generale delle 

 trasformazioni di contatto. Per dire di quello che fu, per Lie, il punto di 

 partenza nell' ordinaria geometria, egli considerò quale elemento di una super- 

 ficie l'insieme di ogni suo punto e del relativo piano tangente, o insomma 

 riguardò una superficie come costituita da una doppia infinità di faccette piane, 

 succedentisi con legge di continuità. Sotto questo aspetto anche gli oo 1 punti 

 di una curva, associati ciascuno ai piani del fascio che ha per asse la tan- 

 gente, formano una doppia infinità di elementi, da considerarsi sempre in- 

 sieme a quelli costituenti una superficie. Nelle ordinane corrispondenze di 

 punto a punto nello spazio, le co 2 faccette piane di una superficie si can- 

 giano negli elementi analoghi della superficie trasformata. Ma altre trasfor- 

 mazioni, di diversa natura, godono della medesima proprietà ; e così p. e. la 

 corrispondenza di polarità rispetto ad una quadriea (in particolare la trasfor- 

 mazione di Legendre) , e così pure la trasformazione 'parallela, nella quale 

 ogni faccetta viene spostata lungo la normale, parallelamente a sè stessa, di 

 un tratto costante. Lie considerò in generale tutte le trasformazioni degli oo 5 

 elementi dello spazio (faccette), che trasformano gli oo 2 elementi di una 

 qualunque superficie in altrettali elementi e queste chiamò trasformazioni di 

 contatto, appunto perchè esse conservano il contatto, fra le superficie. Gene- 

 ralizzò poi la ricerca ad un numero qualunque di variabili, collegandone 

 lo studio al celebre problema di Pfaff e dimostrò tutta l' importanza dei nuovi 

 concetti, rischiarando di nuova luce la teoria dell' integrazione delle equa- 

 zioni differenziali ; in particolare ridusse a singolare perfezione la teoria delle 

 equazioni a derivate parziali del primo ordine. 



Nè possiamo passare sotto silenzio una particolare trasformazione di con- 

 tatto, che fu una delle prime e più ammirate scoperte di Lie. Tutti cono- 

 scevano le proprietà fondamentali delle linee di curvatura e delle linee assin- 

 totiche di una superficie; ma nessuno aveva sospettato che le proprietà dell' una 

 specie potessero dedursi da quelle dell' altra per mezzo di una trasformazione 

 geometrica. La trasformazione (immaginaria) scoperta da Lie, che cangia le 

 rette dello spazio nelle sfere (propriamente gli oo 2 elementi piani per una 

 retta negli oo 2 elementi piani di una sfera) , conduce appunto all' accennato 

 risultato, mutando le rette osculatrici in un punto ad una superficie nelle 

 sfere osculatrici della superficie trasformata. Così p. e. le proprietà di una 



Rendiconti. 1899, Voi. Vili, 1° Sem. 



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