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padrica doppiamente rigata si trasformano in quelle di una ciclide di Dupin 

 coi due sistemi di linee di curvatura circolari. 



Senza attenermi strettamente all' ordine storico, dirò ora delle importanti 

 ricerche di Lie nel campo della geometria differenziale, ricerche che riguar- 

 dano più particolarmente le superficie d' area minima e le superficie a cur- 

 vatura costante. La teoria delle superficie minime, per opera specialmente 

 di Bonnet, Weierstrass e Schwarz, sembrava aver trovato il suo assetto de- 

 finitivo e le antiche formolo, complicate d' immaginari, colle quali Monge 

 aveva dato l'integrale generale della corrispondente equazione a derivate 

 parziali, sembravano quasi dimenticate. Lie ritorna (1876) a queste formolo 

 e dimostra come in esse sia contenuta una generazione geometrica ben sem- 

 plice di queste superficie, come superficie di tradazione; le curve genera- 

 trici sono curve minime, cioè tali che le loro tangenti si appoggiano al cir- 

 colo immaginario all' infinito. Coli' aiuto di questa generazione geometrica egli 

 studia specialmente le superficie minime algebriche e riesce a risolvere il 

 problema di determinare tutte quelle, il cui ordine e la cui classe sono nu- 

 meri assegnati, e l' altro di trovare tutte le superficie minime inscritte in 

 una data sviluppabile algebrica, supposto che una di' esse sia nota. 



Nelle sue ricerche sulle superficie a curvatura costante si incontra dap- 

 prima in proprietà fondamentali già note per le ricerche di Enneper, Dini e 

 Hazzidakis; dimostra poi come sopra una superficie nota, a curvatura co- 

 stante, l'integrazione della equazione differenziale delle linee asintotiche e 

 delle linee di curvatura possa eseguirsi con sole quadrature e quest' ultima 

 proprietà estende a tutte le superficie (W), i cui raggi principali di cur- 

 vatura sono funzioni l'uno dell'altro. Indi si volge (1880) al metodo di tra- 

 sformazione delle superficie pseudosferiche, allora di recente stabilito. Secondo 

 questo metodo, da una superficie pseudosferica nota se ne deducevano co 1 nuove 

 conducendo le tangenti ad una serie di geodetiche parallele ed ogni volta 

 cercando la seconda falda della superficie focale per la congruenza di raggi 

 così ottenuta. La ripetuta applicazione del metodo, esigendo la conoscenza 

 delle linee geodetiche della superficie trasformata, sembrava richiedere ogni 

 volta l'integrazione di un'equazione differenziale. Lie dimostra che tutte 

 queste successive integrazioni si riducono a semplici quadrature, ottenendo 

 così una notevolissima semplificazione dei metodi di trasformazione. A lui 

 pure è dovuta l' importante osservazione che la detta trasformazione conserva 

 le linee di curvatura, le linee assintotiche e, in queste ultime, le lunghezze 

 deo-li archi. Ispirandosi poi ai concetti, che erano a lui famigliari nella teoria 

 delle trasformazioni di contatto, egli pone i risultati del metodo sotto nuova 

 luce, considerandolo come una trasformazione Multiforme della equazione 

 a derivate parziali che, in coordinate cartesiane, esprime la curvatura essere 

 costante. Queste considerazioni, affatto nuove nella teoria delle equazioni a 

 derivati parziali, furono poi utilizzate, come è noto, da BacMund per arri- 



