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vare alla più generale trasformazione delle superficie psendosferiche che porta 

 il suo nome. 



Ma veniamo ormai all' opera colossale del Lie, alla sua teoria dei gruppi 

 continui di trasformazioni. La genesi geometrica delle idee fondamentali 

 ci viene descritta dall'inventore stesso nella prefazione al trattato, redatto 

 in collaborazione con Engel ('), e nelle belle pagine che egli ha dedicato 

 alla memoria di Galois ( 2 ). Lo studio delle ricerche di Abel e di Galois ave- 

 vano mostrato al Lie tutta l' importanza della teoria dei gruppi finiti di ope- 

 razioni (sostituzioni). Esempì, a lui famigliari, tolti dalla geometria pro- 

 jettiva, dalla geometria delle inversioni per raggi vettori reciproci, dall' algebra 

 delle sostituzioni lineari e dalla teoria delle funzioni, gli facevano presentire 

 come il concetto di gruppo, esteso al caso di un numero infinito di opera- 

 zioni, sia che queste formino un insieme discreto ovvero un insieme continuo, 

 doveva acquistare in tutte le matematiche un' importanza dappertutto fonda- 

 mentale. 



Lasciando da parte la teoria dei gruppi infiniti ma discontinui (il cui 

 sviluppo, dovuto specialmente ai lavori di Klein e Poincaré, ha avuto il suc- 

 cesso che tutti conoscono), egli volse la sua attenzione particolarmente ai 

 gruppi continui, a quelli cioè le cui trasformazioni contengono, nella loro 

 espressione analitica, parametri arbitrari, suscettibili di acquistare una con- 

 tinuità di valori. E concepì V ardito pensiero di costruire una teoria affatto 

 generale di questi gruppi, pensando che essa dovesse avere in particolare, 

 nelle teorie analitiche della integrazione, efficacia ed importanza del tutto 

 analoghe a quelle della teoria dei gruppi di sostituzioni per le equazioni 

 algebriche. Nel citato elogio di Galois, Lie considera come certo che Galois stesso 

 abbia avuto intenzione di ricercare non soltanto i gruppi di sostituzioni ma 

 anche, da un punto di vista generale, i gruppi di trasformazioni e debba 

 aver pensato a studiarne le applicazioni all'analisi. Questo pure concesso, 

 quale penetrazione non occorreva e quanto indefesso lavoro di una mente, 

 dotata da natura delle più felici risorse, per trionfare di tante difficoltà, per 

 costruire, dietro sì vaghi indizi, una teoria così vasta e di tanta importanza 

 che difficilmente si potrebbe credere opera di un solo ? 



Le ricerche di Lie si volsero dapprima ai gruppi continui di trasforma- 

 zioni da lui detti finiti, che dipendono cioè da un numero finito r di para- 

 metri. Il problema funzionale, dal quale la ricerca dipende, trasformò egli 

 in un sistema di equazioni a differenziali totali, illimitatamente integrabile, 

 a cui soddisfano le funzioni incognite che definiscono la trasformazione, con- 

 siderate come dipendenti dai parametri. Studiò anche i gruppi infiniti, dipen- 

 denti da un numero infinito di parametri (o da funzioni arbitrarie) , pei quali 

 esiste un analogo sistema di equazioni differenziali definenti il gruppo. 



(*) Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig-Teubner, 1888-93 (3 volumi). 

 ( 2 ) Le Centenaire de TÉcole Normale. Paris-Hachette, 1895. 



