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La nozione fondamentale di trasformazione infinitesimale e l'introdu- 

 zione di un conveniente simbolo per rappresentarla sono i semplici mezzi coi 

 quali Lie costruisce tutta la teoria. Per bene intendere queste idee fonda- 

 mentali è utile ricorrere al caso di un gruppo ad un solo parametro, ove 

 questi elementi si presentano, per così dire, spontaneamente. Applicando 

 ai punti dello spazio (a n dimensioni) la trasformazione continua del gruppo, 

 ciascuno di essi percorre una trajettoria determinata. La trasformazione infini- 

 tesima del gruppo è quella che fa passare ogni punto dalla sua posizione 

 attuale alla infinitamente vicina e il simbolo X/\ che Lie introduce per 

 rappresentarla, non è altro, in sostanza, che la derivata di una funzione arbi- 

 traria delle coordinate presa nel senso della tangente alla trajettoria che il 

 punto descrive. Questa trasformazione infinitesima X/\ generatrice del grappo, 

 è determinata solo a meno di un fattore costante. 



Inversamente una tale trasformazione X/\ presa ad arbitrio (con coeffi- 

 cienti funzioni qualunque delle coordinate) individua un gruppo ad un para- 

 metro da essa generato. Pei gruppi a r parametri (essenziali) il passaggio 

 da una trasformazione finita ad una qualunque infinitamente vicina si compie 

 per mezzo di una trasformazione infinitesima Xf che risulta sempre danna 

 combinazione lineare omogenea, a coefficienti costanti, di r trasformazioni infi- 

 nitesime fondamentali 



Xi /, X 2 /\ . . . X 2 f, 



fra di loro linearmente indipendenti. 



Queste sono le trasformazioni generatrici del gruppo, il quale consta 

 di tutte le trasformazioni finite di gruppi ad un parametro generati da tutte 

 le dette trasformazioni X/", combinazioni lineari delle fondamentali. Le r 

 trasformazioni infinitesime generatrici non possono essere prese ad arbitrio 

 ma, per generare un gruppo, debbono soddisfare alla condizione che le espres- 

 sioni alternate con esse formate (X £ /,X ft /) siano combinazioni lineari omo- 

 genee, a coefficienti costanti C ite , delle fondamentali. 



I valori di queste costanti C ite sono della massima importanza per lo 

 studio del gruppo; esse ne determinano la struttura o composizione. 



Su questi semplici fondamenti Lie ha edificato tutta la teoria dei gruppi 

 continui finiti, teoria che mentre impone per la grande vastità del soggetto 

 offre queir armonia di parti e quella semplicità di metodi e di risultati, che 

 sono caratteristiche delle invenzioni scientifiche veramente importanti. Ben giu- 

 stamente dice il Lie che le leggi, da cui i gruppi continui di trasformazioni 

 sono governati, sembrano sotto un certo aspetto più semplici e più intuitive 

 di quelle che reggono la teoria dei gruppi di sostituzioni. La ragione sta visi- 

 bilmente in ciò che la continuità delle trasformazioni e la nozione di tra- 

 sformazione infinitesima permettono di applicare allo studio dei gruppi con- 

 tinui i mezzi potenti del calcolo infinitesimale e dell' analisi. Molti concetti 



