e proprietà dei gruppi di sostituzioni si trasportano del resto, colle dovute 

 mutazioni, nella nuova teoria e così i concetti di transitività ed intransiti- 

 vità, di primitività ed imprimitività, di sottogruppi invarianti e quelli, da 

 cui tutta la teoria è dominata, di composizione e di isomorfismo dei gruppi. 

 Ad investigare la struttura dei gruppi continui servono precipuamente il gruppo 

 aggiunto ed i gruppi parametrici. Il primo, che può sempre porsi sotto la 

 forma di un gruppo di sostituzioni lineari ed omogenee, ci dà colle sue tra- 

 sformazioni il modo come le operazioni del gruppo dato si permutano fra 

 loro, quando siano tutte trasformate con una medesima trasformazione del 

 gruppo stesso ; il gruppo aggiunto sta col gruppo dato in relazione d' isomor- 

 fismo, che può essere del resto oloedrico o meriedrico. I gruppi parametrici 

 danno invece nelle loro trasformazioni la legge secondo cui si compongono 

 direttamente fra loro le operazioni del gruppo; essi sono sempre oloedrica- 

 mente isomorfi col gruppo dato. 



La considerazione del gruppo aggiunto è essenziale in tutte le questioni 

 che riguardano la ricerca dei vari tipi di sottogruppi del gruppo dato ; quella 

 dei gruppi parametrici nelle questioni che concernano l' isomorfismo e la com- 

 posizione dei gruppi. 



Un' altra importantissima nozione è quella degl' invarianti finiti o diffe- 

 renziali dei gruppi continui. Questo concetto, apparso già, in forma isolata, 

 in molte teorie geometriche ed analitiche, acquista nella teoria di Lie un signi- 

 ficato del tutto generale ed una compiuta determinatezza. Lie insegna infatti 

 come per tutti i gruppi continui di trasformazioni, finiti od infiniti, ma go- 

 vernati da un sistema di equazioni differenziali fondamentali, si possono deter- 

 minare gli invarianti differenziali mediante integrazione di sistemi completi. 



Il Lie determinò inoltre tutti i possibili tipi di gruppi finiti continui 

 sopra una, due o tre variabili o, se si vuole, sulla retta, nel piano o nello 

 spazio (in quest' ultimo caso soltanto, in modo completo, pei gruppi primi- 

 tivi). Similmente determinò tutti i gruppi irriducibili di trasformazioni di 

 contatto sul piano e classi generali di questi gruppi nello spazio a più dimen- 

 sioni. Nè possiamo tacere del singolare risultato ottenuto da Lie, coi mezzi 

 più semplici, riguardo ai gruppi continui sopra una variabile. Egli dimostra 

 che un tale gruppo contiene al massimo 3 parametri ed è in ogni caso si- 

 mile (riducibile) al gruppo proiettivo o ad un suo sottogruppo. Importantis- 

 sime sono anche le ricerche che il Lie ci ha lasciato sulla teoria generale 

 della composizione di gruppi e in particolare la classificazione completa dei 

 possibili tipi di composizione dei gruppi a 3 e 4 parametri, dei gruppi non 

 integrabili a 5 e 6 parametri ecc. 



Le applicazioni che il Lie stesso ci ha dato delle sue teorie generali 

 sono molte ed importanti. Per parlare prima delle analitiche, conviene dire 

 delle ricerche sui metodi di integrazione delle equazioni differenziali. 1 metodi 

 noti, che apparivano prima come isolati e la cui riuscita sembrava come 



