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dovuta a particolari artifizi, Lie coordinò in logica dipendenza fra loro, dimo- 

 strando come il successo di quei metodi era dovuto ogni volta alla esistenza 

 di gruppi continui di trasformazioni le quali applicate all'equazione diffe- 

 renziale, la lasciavano invariata. A questo genere di ricerche appartiene pure 

 la bella Memoria del Lie sulla integrazione della equazione differenziale delle 

 linee geodetiche per una superficie di dato elemento lineare, ove egli dà la 

 completa classificazione in tipi degli elementi lineari pei quali il sistema delle 

 linee geodetiche ammette un gruppo continuo di trasformazioni. 



Fra le applicazioni geometriche della teoria dei gruppi spicca per la 

 sua importanza, la ricerca sui fondamenti della geometria. 



In queste Memorie che valsero all' autore il conferimento del primo premio 

 Lobacevskji, il Lie risolve il problema da lui detto di Kiemann-Helmholtz. 

 che consiste nell' assegnare le proprietà caratteristiche dei gruppi di movimenti 

 dello spazio euclideo o noneuclideo (a curvatura costante) , che servono a 

 distinguerli da tutti gli altri possibili gruppi di trasformazione degli spazi. 



Rettificando gli assiomi ed i ragionamenti di Helmholtz, che in più 

 punti mancavano di esattezza matematica, egli ha dato due diverse soluzioni 

 di questo problema. La prima, fondata siili' ipotesi della completa libertà 

 di movimenti infinitesimali, vale per un numero qualunque di dimensioni; 

 l'altra che si appoggia al contrario, in modo più elementare, sopra ipotesi 

 solo relative al modo di comportarsi al finito, risolve completamente il problema 

 nel caso, più importante, dello spazio a tre dimensioni. 



Non entra nel disegno delle presenti notizie di trattare delle applicazioni 

 che, in tempi relativamente recenti, altri matematici hanno fatto delle teorie 

 di Lie, per quanto ve ne siano delle importantissime. Il grande valore delle 

 teorie generali di Lie venne per tal modo sempre più chiaramente ricono- 

 sciuto e grandemente si accrebbe l' interesse dei matematici per un campo di 

 ricerche nel quale Lie, per lunghi anni, da solo lavorò. 



Certamente più fortunato del suo grande compatriota Abel, S. Lie ebbe 

 la ventura di poter con lungo studio perfezionare le sue teorie predilette e 

 la soddisfazione di vedere come in tutto il mondo matematico venisse sempre 

 più riconosciuta l' alta importanza dei suoi lavori. L' aiuto di valorosi colla- 

 boratori, i prof. Engel e Scheffers, gli diede agio di diffondere in trattati 

 le nuove dottrine. 



La sua attività didattica si svolse dal 1877 al 1886 nell'Università di 

 Christiania, poi a Lipsia dove successe a Felix Klein. Soltanto da sei mesi 

 egli era ritornato a Christiania, dove il governo del suo paese gli aveva ri- 

 servato un trattamento speciale/ Quivi meditava nuove ricerche e preparava 

 gli elementi per la grande opera, a cui più volte egli accennò, che doveva 

 svolgere la teoria generale dei gruppi continui, finiti od infiniti, degli inva- 

 rianti differenziali e le applicazioni alle teorie di integrazione. 



Ma colpito, forse per eccesso di lavoro mentale, da malattia cerebrale, 

 eo-li cessava improvvisamente, nell' età di 56 anni, di pensare e di vivere. 



