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 1. Sia, come nella Nota l a : 



(1) ds % =■ senh 2 fl da 2 + cosh 2 0 dv 2 



V elemento lineare di una superficie S a curvatura K = -J- 1, riferita alle 

 sue linee di curvatura u , v, dove 0 è una soluzione dell' equazione a deri- 

 vate parziali: 



(2) — 9 ■ + H" senh e coshfl — 0 . 



Indichino W , <P due funzioni di u , v assoggettate a soddisfare al se- 

 guente sistema di equazioni differenziali lineari ed omogenee, dove c indica 

 una costante arbitraria: 



iyw = ìfl w _ fl ìfl w ^ genh w , , , j v genh(9 coshya) 



(A) <— — = coth 6 — — - + tgh 6 — — — 

 J pu ~òv l>v T>u 1 Dm 



— =— coth 6 — — -f toh 6 — — + e cosh W + (e + 1) senh0coshfl<2> 



(B) — = — cothfl , — = — tghfl — . 



Il sistema formato dalle (A) , (B) (') è illimitatamente integrabile, a 



(!) Si può dare al sistema (A) , (B) una forma invariantiva, che vale per qualunque 

 sistema coordinato (u , v). Se diciamo 



-+- 2 P du dv Gdv* 

 Bdu 2 -h 2 D'du dv D"rfy 2 



le due forme differenziali quadratiche fondamentali della S, il sistema si scrive 



W„=cEW — (c + l)D# 

 (A*) \ W 12 = cFW — (e -+- 1) D'# 



( W„=j 



( W„ = cGW-(c + l)]- 



à# _ GD — FD / 2 iW ED / — FD D_W 

 Dm - EG — F 2 ì>u ~*~ EG — F* 3-w 

 5 # GD' — FD" jVW ED" — FD" DW ' 

 Dm EG — F 2 )m EG-P 



i simboli W„ , W„ ,W 2 2 denotando le derivate seconde covarianti di W. Si osserverà che 

 per c = — 1 (valore che nelle attuali ricerche è escluso) il sistema (A*) si riduce a quello 

 noto di Weingarten, che si integra appena note le geodetiche della superficie (Cf. Lezioni, 

 pag. 525). 



