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2. Le superficie a curvatura costante positiva si presentano a coppie di su- 

 perficie coniugate secondo la trasformazione di Hazzidakis ('). Sia Si la su- 

 perficie trasformata di Hazzidakis della S ; il suo elemento lineare ds x , rife- 

 rito alle linee di curvatura, sarà dato da 



ch\ = cosh 2 0 du 2 + senh 2 0 dv 2 . 



Volendo ora applicare alla S! la nostra trasformazione, avremo un si- 

 stema analogo ad (A) , (B), che si deduce da questo scambiando W con ^ e 

 cangiando c in — (c -f- 1). Da questa semplice osservazione deriva la con- 

 seguenza: // segmento da riportarsi sopra ogni normale della trasformata 

 di Hazzidakis S t è precisamente l inversa del segmento riportato sulla 

 normale alla primitiva S. 



Ne segue che il luogo 2' dei termini dei secondi segmenti sarà appli- 

 cabile sull' ellissoide se il luogo analogo 2 pei primitivi sarà applicabile sul- 

 T iperboloide ed inversamente. 



Sia ora S' la superficie a curvatura costante positiva normale ai raggi 

 riflessi sulla 2 delle normali alla S, e similmente S/ la nuova trasformata 

 della Si. Sussiste il notevole teorema: Le due superficie S' , S/ sono ancora 

 trasformate di Hazzidakis V una dell' altra. 



Questo risultato può anche enunciarsi così: La trasformazione invo- 

 lutoria di Hazzidakis è permutabile colle nuove trasformazioni. 



3. L' elemento lineare (1) appartiene altresì alla sfera di raggio = 1 ; 

 esso è 1' elemento sferico rappresentativo della trasformata S' di Hazzidakis. 



Consideriamo ora la superficie S inviluppata dal piano parallelo al piano 

 tangente di S' e distante dall' origine di p = W. Si trova che i raggi prin- 

 cipali ì\ , r z di curvatura della S soddisfano all' equazione : 



(4) r,n — (c + 1) p{n + r 2 ) + (c + 1) 2 q = 0, 



significando 2q il quadrato della distanza dell' origine dal punto di contatto 

 del piano tangente di S. Le superficie (4), che hanno a comune colle super- 

 ficie applicabili sulla sfera l'immagine sferica delle linee di curvatura, ap- 

 partengono alla classe, considerata da Weingarten, di quelle superficie che 

 soddisfano ad un' equazione d' Ampère della forma 



avendo qui la funzione <f il valore 



<f = l/(c-\-l)p 2 -2q ■ 



(>) Cfr. Lezioni, pag. 447. 



