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Ogni superficie della classe (4), trasformata con un' inversione per raggi 

 vettori reciproci col centro nell'origine, dà una superficie della medesima 

 specie. Le superficie a curvatura costante positiva che hanno a comune con 

 queste ultime l' immagine sferica delle linee di curvatura sono precisamente 

 quelle che le nuove trasformazioni fanno derivare dalla primitiva S. 



4. Veniamo ora a considerare un sistema triplo ortogonale (u , v , w) 

 contenente una serie di superficie S a curvatura costante positiva K — -f- 1. 

 All'elemento lineare dello spazio, riferito ad un tale sistema triplo ortogo- 

 nale, potremo dare la forma ('): 



/ ~ì0 \ 2 



ds 2 senili du 2 + cosh 2 0 dv 2 + ( — 1 , 



dove 0 soddisfa alle equazioni a derivate parziali 



~ò*6 , ì> ? 0 



( 11 _i_ 11 _i_ S enhfl cosh<9 = 0 



ìh 2 d\~òuDu)ì cosh 2 <9 \ìv ìw) ~*~\7>w) 



\ senh 2 



Di ciascuna superficie S (w= costf*) prendiamo una trasformata S r , se- 

 condo una delle nostre trasformazioni, e sia 



T(w , v , w) 



il segmento che dobbiamo riportare sulla normale in ogni punto alla S 

 (Nota l a , § 2). Domandiamo di determinare, se è possibile, T in funzione 

 di u,v , w in guisa che le nuove superficie S' facciano nuovamente parte di 

 un sistema triplo ortogonale. La funzione T deve intanto soddisfare alle due 

 equazioni della Nota l a : 



(a) l p-TV + 1 f^V^ c r-(,+i) 



v ; (senhtì -j- Tcoshft) 2 \~òu / ~ (coshtì + Tsenhtf) 2 \ìv ì 



~ò 2 T / senhfl coshfl V^T^T 



^ ìuìv~~ \cosh0 -j- T senhfl senhfl + Tcoshfl/ ~òu ~òv * 



senhfl + Tcoshfl Tifl coshfl -f Tsenhfl ì6 

 ^ coshfl -f- Tsenhfl ìu ~òv ' senhfl -f Tcoshfl l>v l>u ' 



La condizione imposta che le S' facciano parte di un nuovo sistema 

 triplo ortogonale porta poi alla nuova equazione: 



<\( j-nìl-rw — ( ■ 1V1 1 yi ° T 7>T 



W) {c-f-V^ — lCL {c -f- L) \ ^ senhfl senhfl -f Tcoshfl ^ 



i yo t 



coshfl ~òv ~ìio coshfl -J- Tsenhfl "3 y ' 



(') Lezioni, pag. 530. 



