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di vista reale, domandiamo di costruire quante si vogliano nuove superficie 

 reali a curvatura costante positiva. Le antiche trasformazioni, direttamente 

 applicate ad una tale superficie reale, danno allora soltanto superficie imma- 

 ginarie. 



Ora sussiste effettivamente la proprietà che le trasformazioni reali delle 

 superficie a curvatura costante positiva da me trovate possono comporsi cia- 

 scuna con due successive trasformazioni immaginarie di Bàcklund. E questa 

 certamente un' osservazione interessante ; ma non mi sembra che essa dimi- 

 nuisca l' importanza del risultato conseguito. 



Invero non era affatto evidente a priori che si potesse applicare ad una 

 superficie reale a curvatura costante positiva una trasformazione immaginaria 

 di Bàcklund, indi alla nuova superficie immaginaria ottenuta un' altra con- 

 veniente trasformazione immaginaria, in guisa che la seconda trasformata 

 risultasse nuovamente reale ( 1 ). Parmi piuttosto che questo fatto, ora accertato, 

 spieghi appunto la ragione per la quale rimasero così lungo tempo nascoste 

 le nuove trasformazioni reali. Queste sono insomma di natura più complicata 

 delle antiche e possono risolversi in tali trasformazioni più semplici, solo 

 ricorrendo ad opportune trasformazioni componenti immaginarie. 



Aggiungerò in fine che, persino per le superficie pseudosferiche, le mie 

 ultime ricerche danno, dal punto di vista reale, risultati essenzialmente nuovi. 

 Le trasformazioni di queste superficie, ottenute per la nuova via, offrono invero 

 tre casi distinti, secondo che la costante, indicata con a nella mia prima Nota 

 del 19 febbraio (§ 5), è = 1, ovvero > 1 o in fine < 1. 



Se a=l, la trasformazione si compone di due successive trasformazioni 

 complementari, come già è dimostrato al § 7 della medesima Nota. 



Quando a > 1, la trasformazione si compone di due trasformazioni reali 

 di Bàcklund, nelle quali le corrispondenti congruenze pseudosferiche presen- 

 tano la medesima lunghezza costante del segmento focale. 



Ma, quando a <C 1, la nostra trasformazione reale si può risolvere sol- 

 tanto in due componenti di Bàcklund immaginarie. Dal punto di vista reale 

 essa è quindi una trasformazione nuova. 



Tutto questo apparirà meglio in un' ampia Memoria che sto preparando 

 per la pubblicazione. 



0) Ciò, dico, era così poco evidente che tentativi diretti, fatti appunto in questo 

 senso da altri e da me, erano rimasti infruttuosi. 



