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ordinata, io mi propongo di svolgere brevemente nella presente Nota un me- 

 todo generale per la sua determinazione analitica. 



§ 1. Proprietà della derivata prima della funzione ordinata per rap- 

 porto alla variabile. Noi abbiamo supposto che la funzione data abbia nel- 

 l' intervallo (a , b) un numero finito di massimi e minimi. Indichiamo con 

 le ordinate corrispondenti ad essi e con f(Xi) , f(x z ) , 

 f(x 3 ) ... f(x n ) i valori corrispondenti della funzione. 



Sia y' un valore qualunque di f{x) ; ad esso corrisponderanno uno o più 

 valori della variabile indipendente che indicheremo con x\ , x' 2 , x' 3 , ... x' m , 

 ove per la natura del problema si ha: 1 <. m <.»-{- 1. Indichiamo con 

 y' -j- Jy' un altro valore della funzione poco differente da y e con x\ -f- Jx\, 

 x\ -f- Jx'i , x' 3 -j- , •■• x' m -j- ^'«, i corrispondenti valori della varia- 

 bile indipendente, in cui le quantità Jx\ , Jx' 2 , Jx 3 , ... possono essere 

 alcune positive, altre negative. 



Secondo la definizione della funzione ordinata Of(x), l'intervallo Jx' 

 corrispondente al passaggio della funzione Of(x) dal valore y' ad y' -j- Jy', 

 sarà uguale alla somma dei valori assoluti di tutti gli intervalli Jx\ , Jx % , 

 Jx' 3 , ... Jx m ; cioè si avrà l'eguaglianza: 



/ JX \ = | JX' , | + 1 4X\ 1 + I ^3 1 + - + I [ 



\ 40 f(x}) 0 f (Jf(x))f m =,/ 



Passando al limite e ricordando che nelle condizioni in cui ci siamo posti 

 la funzione Of(x) possiede evidentemente ima derivata, avremo: 



Da questa formula si deduce facilmente : 1° che la derivata della fun- 

 zione ordinata si annullerà ogni volta che questa assumerà valori eguali ai 

 massimi e minimi della funzione data ; 2° che se la funzione f(x) ammette 

 una derivata continua in tutto l' intervallo {a , b), la funzione ordinata am- 

 metterà a sua volta una derivata, la quale sarà in generale discontinua solo 

 per i valori di Of(x) eguali ai valori di f(x) corrispondenti ai limiti x = a 

 ed x=b; si deve eccettuare solo il caso in cui la f(x) possieda in questi 

 punti una derivata nulla, al quale caso corrisponderà una derivata della Of(x) 

 continua in tutto l' intervallo (a , b). 



