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§ 2. Espressione analitica della derivata ^fx & deduzione della 



funzione ordinata. Rappresentiamo con F,(#) , F 8 (#) , ... F,,+i(#) Unzioni 

 che per valori di f(x) compresi fra f(a) ed f{x x ) , f(x L ) ed f(x t ) , ... f(x n ) 



ed f(b) assumano rispettivamente i valori del modulo di in ognuno di 



questi intervalli e si annullino per ognuno degli altri valori di f(x). 



Similmente indichiamo con 0F(#) una funzione che assuma nell'inter- 

 vallo (a , b) i valori della funzione e si annulli fuori di esso. 



dx 



Allora avremo evidentemente 1' equazione : 



0F(#) = F»(a?) + F,(a?) H h F (M+;) (^) , 



dalla quale si potrà dedurre e quindi integrando la Of(x) cercata. 



La costante di integrazione si determinerà evidentemente in modo che per 

 x = a la funzione Of(x) assuma il valore minimo assoluto della funzione f(x). 

 Le funzioni F^) , ¥,(x) , • . . F M+l (#) si potranno formare rispettivamente, 



o moltiplicando il modulo della derivata per quantità (in generale per 



integrali definiti) che abbiano il valore uno nel corrispondente intervallo e 

 zero fuori di esso, oppure usando qualcuna delle note rappresentazioni ana- 

 litiche delle funzioni di una variabile data arbitrariamente in un intervallo ed 

 annullantesi fuori di esso. 



In entrambi i casi bisognerà analizzare in modo speciale le singolarità 

 che in generale avvengono ai limiti di queste rappresentazioni. Se si fa uso 



dell' integrale di Dirichlet - P ™ cos(<^) dy , oppure del doppio inte- 



graie di Fourier, ai limiti la funzione rappresentata avrà un valore uguale 

 alla metà di quello che dovrebbe realmente avere ; nel nostro caso però cor- 

 rispondendo ai valori limiti f(x'Ì) , f(x 2 ) , ... f(x n ) valori infiniti della deri- 



Yata J±- potremo limitare la nostra ricerca particolare ai valori f(a) 

 df(x)' 



ed f{b). 



L'estensione del metodo esposto ai casi di discontinuità considerati dal 

 prof. Somigliana non presenta alcuna nuova difficoltà. 



8 3 Proponiamovi di determinare come esempio semplice la relazione 



a + b 



generale fra una funzione f{x) simmetrica rapporto ali ordinata m — — , 



a -4- b a ~t~ ^ ? i 



sempre crescente fra a ed — ^— e sempre decrescente fra — ^— e 0, e la 



