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Già nella mia prima Nota del 19 febbraio ho osservato come le nuove 

 trasformazioni delle superfìcie pseudosferiche offrano tre casi distinti, a se- 

 conda che per la costante indicata con a al § 5 di detta Nota si ha 



a=l, a^>], ovvero a<[l. 



1°. Se a = 1, la trasformazione si compone di due successive comple- 

 mentari (1. c. § 7) e potrebbe dirsi la trasformazione bicomplementare. 

 Precisamente si ha: 



Se S', S" sono due superficie pseudosferiche complementari di una 

 medesima S, le normali a S', S" in due punii corrispondenti si incontrano 

 in un punto, il cui luogo è applicabile sulla superficie logaritmica di ro- 

 tazione; si passa da S' a S" con una trasformazione bicomplementare. 



2. Siano ora S', S" due superfìcie pseudosferiche trasformate di Bàcklund 

 di una medesima superficie pseudosferica S e precisamente i valori della co- 

 stante a per le due trasformazioni siano eguali e di segno contrario. Allora 

 abbiamo il teorema: 



Le normali a S', S" in due punti corrispondenti W ', M" s'incontrano 

 in un punto P il cui luogo è una superficie 2 applicabile sul catenoide 

 accorciato; i punti M', M" giacciono simmetricamente rispetto al piano 

 tangente nel punto corrispondente P di 2. 



La trasformazione colla quale si passa da S' a S" è quindi una delle 

 nuove trasformazioni e corrisponde ad un valore a > 1 della costante a. 



3°. Per trattare ora il 3° caso riferiamoci ai risultati del teorema di 

 permutabilità, come sono esposti a pag. 435 e sgg. delle Lezioni. 



Essendo co una soluzione dell'equazione 



\ a ) — — = sen«cosw, 



l)Ul)V 



le equazioni 



( 7)(ft>i — co) l-f-seno"! 



\ ~ = — ! senfo)] + w) 



) 7>u coso 1 ! v 1 ; 



\P) ■ ' \ 



I +«) 1 — seno-i 



f ^ = senfwi — co) , 



dove Cj indica una costante arbitraria, costituiscono per la funzione inco- 

 gnita co l un sistema illimitatamente integrabile, sicché la soluzione generale co v 

 contiene (oltre a x ) una costante arbitraria. Inoltre la io 1 è una nuova solu- 

 zione dell' equazione fondamentale (a). 



Indicando con a 2 una nuova costante, diversa da a x , determiniamo 

 similmente una terza soluzione co 2 della (a) dalle equazioni analoghe: 



l>(co 2 — co) l-f-senffj 



= — ■ sen(w 2 -4- co) 



T)V cosc 2 v ' ' 



7i(« 2 -r-w) 1 — sencr 2 



— ■ sen(co 2 — co) 



1)V cos <7 2 v ' 



