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Il teorema di permutabilità ci insegna allora che si ottiene in termini 

 finiti una quarta soluzione co 3 della (a) dalla relazione 



ta l tr t \ 

 cosi I 



, 7 v . ( oh — <o \ \ 2 7 , / <», — « 2 \ 



sen^—-) 



Questa soluzione t» 3 è legata come co , ad w L , w 2 dalle medesime equa- 

 zioni (b) (ó), ove soltanto si ponga co 3 in luogo di co , e si invertono le due 

 costanti , c 2 fra loro. 



Analiticamente questo risultato è indipendente, come è naturale, dall' es- 

 sere le funzioni co , wj , « 2 , w 3 e le costanti , a 2 reali o complesse. Ora 

 suppongasi co reale e tf, complesso; indicando con <x\ la coniugata di <t 1 , 

 pongasi 



La w, , definita dalle (/;), sarà naturalmente complessa e si vede subito 

 che alle (c) si potrà soddisfare prendendo per co. z la coniugata di w,: 



CO-2 = °°l • 



Se poniamo scindendo il reale dall' immaginario 

 a x = a -f- i<r' , c 2 = a — io' 



CO x = 0 if , M 2 = 0 &'<J> 



la (rf) diventa 



/ w 3 — M \ cos e 



tor — ) = : : tgh W 



2 senhff & 



e ci dimostra che co 3 ritorna nuovamente reale. In particolare ciò vale se 

 supponiamo a x puramente immaginario cioè 0 — 0 ('). Allora la superficie 

 pseudosferica S 3 , corrispondente alla soluzione co 3 della (a), deriva da S ap- 

 punto per mezzo di una delle nuove trasformazioni, che corrisponde ad un 

 valore a < 1 della costante a. Si ha cioè il risultato : 



La superficie pseudosferica S 3 può collocarsi in tale posizione nello 

 spazio che le normali a S,S 3 in punti corrispondenti M , M 3 si incontrino 

 in un punto corrispondente P, il cui luogo è ima superficie 2 applicabile 

 sulla superficie di rotazione avente per meridiano la curva 



r = m senh z ; 



(>) La trasformazione più generale che si ottiene supponendo ff =}= 0 si compone 

 del resto mediante questa elementare combinata con trasformazioni di Ine, nello stesso 

 modo come la trasformazione di Bàklund risulta dal combinare una trasformazione com- 

 plementare con trasformazioni di Lie (Lezioni pag. 894). 



