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Questa quarta soluzione 0 3 viene legata a 6 X , 0 2 dalle medesime equa- 

 zioni (/?), (y), ove si cangi 0 in 0 3 e si permutino le due costanti c l , <r 2 . 

 Ora, scindendo il reale dall'immaginario, pongasi 



Cj = (X -j- «f' , 0i = &> -}- £c/> 



e si supponga che la soluzione 0 da cui si parte sia reale. Si vedrà subito 

 che le (y) possono soddisfarsi ponendo 



0 2 = <Xi — — C -J- ?'(/ , 



0 2 — <9j — j— 772 = CO -]- «'</> -f- 7T£ 



e la (c?) che diventa 



(ó*) tghl -^g— j = tgh e tgh « 



dimostra quindi che la soluzione finale 0 3 ritorna rc^<?. 



Suppongasi in particolare che sia (t x reale, cioè sia e' = 0 ( 1 ). Scin- 

 dendo nelle (/?) il reale dall'immaginario, si ottiene per le funzioni incognite 

 reali co ,g> il seguente sistema di equazioni ai differenziali totali, che è 



illimitatamente integrabile : 



(«*) 



— = ( senh cf cosh 0 senh « -4- cosh e senh 0 cosh co) cos c/> 



— = — (senh a senh 0 senh co 4- cosh a cosh 0 cosh co) sen y 



~òv 



( _j_ 2- = ( S enh e cosh 0 cosh co -J- cosh <r senh 0 senh co) sen $p 

 ) 1$ — — = (senh e senh e cosh co -f- cosh cr cosh 0 senh co) cos cp 



e la formola (<T) ci definisce, col valore di 0 3 , una superficie S 3 di curvatura 

 K = -f- 1 coli' elemento lineare 



ds 2 = senh 2 0 3 du 2 + cosh 2 0 3 cfo* , 



(i) Anche qui le trasformazioni più generali ottenute supponendo <r'=f 0 si com- 

 congono di quelle da noi considerate corrispondenti a cr' = 0 e di trasformazioni di Bonnet. 

 Propriamente indicando con T una tale trasformazione generale con T 0 la nostra parti- 

 colare e con B« una conveniente trasformazione di Bonnet-Lie, si ha 



T = B a T„B a -> 



(cfr. Lezioni, pag. 434). Per trasformazione B a Bonnet intendiamo quella che fa passare 

 dalla soluzione 6{u,v) della («) all'altra 



0(u , v) = 6(u cos « — v sen « , w sen « -+- u cos a) . 



essendo « una costante. 



