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teorema fondamentale: Date due funzioni ?(u,v) , Q(u,v) e due forme qua- 

 dratiche 



e du 2 -f- (/ + /') du dv -J- g dv 2 

 Kdu 2 + 2F du dv + Gdv 2 , 



delle quali la seconda positiva e a curvatura -{- 1 , tali che le (3) siano 

 soddisfatte, esiste una sola congruenza che ammette quelle due forme rispet- 

 tivamente per l a e 2 a forma fondamentale. Le X , Y , Z si ottengono inte- 

 grando una equazione di Riccati, e la superficie iniziale è definita dalle (2) 

 per mezzo di quadrature. 



4. Come applicazione di queste formule, prenderò a trattare il nuovo 

 problema seguente : Determinare le congruenze con assegnata immagine sfe- 

 rica delle rigate medie. Io chiamo rigate medie la doppia famiglia di rigate 

 della congruenza che hanno le linee di stringimento sulla superficie media. 

 Esse godono di due proprietà, che enuncio soltanto: 



a) La loro immagine sferica è un sistema ortogonale. 



b) I piani tangenti a due di esse nel punto medio della generatrice 

 comune (piani perpendicolari) sono i piani bisettori dei piani focali e dei 

 piani principali. 



Prendiamo per superfìcie iniziale la superficie media della congruenza 

 e siano u = cost , v = cost le due famiglie di rigate medie. Si avrà eviden- 

 temente 



F = 0 e = 0 g=0, 

 per cui le (2) diventano 



(4) 



1 lu G ~ùv ' 

 dv E ~òu H * 



Le funzioni P e Q si ricavano dalle due ultime delle (3); si ottiene: 



i k - £ | - i \r ì dog m - / 1 do g ,/e) - *j 



Q = ¥ s fllA _ = ± 1 1 ± d„ g ^ _ r !< log m _ 



Scrivendo ora che la prima delle (3) è verificata per queste espressioni 

 di P e Q, si trova che le funzioni f ed /' devono soddisfare la condizione 

 seguente : 



1 1 V I 1_ 



v E 7)w 2 2 ìa 1 "2G L2 ^ 3 1 "2^\G 7)y / + J ' ~ 



