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Di qui risulta che il problema proposto ammette una grande arbitrarietà 

 nella soluzione. Si può fissare f o /', e determinare f o f integrando una 

 equazione lineare del 2" ordine del tipo parabolico. Le (4) definiscono per 

 quadrature la superficie media delle congruenze cercate. 



5. Siano x, = Xi(u , v) , y x = y x {u , v) , *, = z x (u , v) V equazioni di una 

 superficie Si riferita alle linee di curvatura, le quali abbiano la stessa im- 

 magine sferica delle rigate medie di una congruenza. La congruenza sarà 

 definita dalle formule precedenti, e per la superficie S, si avrà 



Posto 



7^i_ ~ax ~òwi ~òX _ 



2X^ = 0 2X^ = 0 



"ìli ~ÒV 



2 ~ìX\ ~^X ^ 7)^1 1)X 



dalle (4) si ricava: 



~òv ìuT -òu ìv V G 1 ' E/ ' 



essendo ri ed r 2 i raggi di curvatura di S, . Se quindi si prendono f ed f 

 in guisa che insieme alla (5) sia anche soddisfatta la condizione 



(6) f% + fn = o , 



la superficie media della congruenza corrisponderà alla Si per ortogonalità 

 d' elementi. 



Questa osservazione dimostra nuovamente l' intimo legame che esiste fra 

 la teoria delle congruenze rettilinee e quella delle deformazioni infinitesime. 

 Si vede che la determinazione delle superficie che corrispondono ad Si per 

 ortogonalità d' elementi equivale alla determinazione delle congruenze, le 

 cui rigate medie hanno la stessa immagine sferica delle linee di curva- 

 tura di S 0 , e per le quali sia soddisfatta la condizione (6). 



6. Le formule (2) e (3), che sono utilissime in una grande classe di 

 problemi, non si prestano per lo studio delle deformazioni delle congruenze, 

 intese nel senso di Beltrami ( 1 ). Per tale scopo occorre esprimere le sette 

 funzioni di Kummer mediante i coefficienti delle due forme fondamentali 

 della superficie iniziale e le due funzioni P e Q, come ha fatto il Prof. 

 Bianchi nelle sue recenti ricerche ( 2 ). 



(!) Le deformazioni che si ottengono flettendo la superficie iniziale e immaginando 

 che le rette della congruenza siano ad essa invariabilmente legate. 



( 2 ) Sulla teoria della deformazione delle superficie di rivoluzione. Rend. E. Acca- 

 demia dei Lincei, febbraio 1899. 



