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Limitandoci alle congruenze normali, prendiamo a linee u = cost sulla 

 superfìcie (I) le traiettorie ortogonali alle rette della congruenza, e diciamo 

 v = cost le linee ortogonali ad esse. Allora, indicando con <r 1' angolo va- 

 riabile che le rette della congruenza fanno colla normale alla superfìcie (I), 

 1' elemento lineare assume la forma 



du 2 



(7) ds 2 = ^- + Gxdv 2 , 



cos 2 c 1 



mentre la seconda forma fondamentale sarà 



D du 2 -f 2D'du dv + D"è ! . 



Ciò posto, per giungere alle formule cercate basta seguire la via indi- 

 cata dal prof. Bianchi. Ma se s' introducono fin dai primi calcoli le tre fun- 

 zioni ; 



(8) p — — ( — 4- D cos c , q = — { — — + — = ) , 



_ cosV _ 

 sene 7>w y (jx 



si ottengono con facilità le formule seguenti assai semplici : 



/ E = p 2 -f- q 2 senV t e = ptangff 



(9) ) F = pq\/G~x cos a + qr sen 2 <r (9') f=f' = q f/G~ sen xs 

 ( G = - ^ 2 Gi cos 2 o- -(- r 2 senV ( g — rf/GiSena - 



Dalle (9') risulta che si possono sostituire le funzioni e,f,g alle p , 

 # , r. Tale sostituzione è vantaggiosa, poiché le formule (9) diventano 



E=e ! cot 2 ff + /' 2 ^- 

 F--= e /cotV + /^ i 

 G--=/ 2 cot 2 (r+^|- 



e per conseguenza le due forme fondamentali della congruenza si riducono 

 alle seguenti: 



dq 2 = cot 2 ff (edu -j- /iste) 2 -f- p7" (/ofe -f- p-rfy) 2 



vii 



i/> = edw 2 -}- 2f dudv -\- gdv 2 . 



Le funzioni e,f,g soddisfano a tre equazioni, le quali si ottengono da 

 quelle di Codazzi e di Gauss, sostituendo alle D , D' , D" le espressioni de- 



