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finite dalle (8) e (9'). Tali equazioni sono alquanto complicate, ma importa 

 notare quella che si deduce dal teorema di Gauss, giacché permette di espri- 

 mere eg — p linearmente per e,f,g: 



„„ , ~ò<f C0S 2 C7>Gl ~ì<f n . ,^ -rr l 



^-/ 2 + ^tang(r— — e — -^-2/tangcr — = G, tang 2 o" . K, + 



4- cot e f- — — I — ) 



1 2 ~òu ~òu cos^yDy/ 



Ki è la curvatura di (I). Da quanto si è detto possiamo concludere : note 

 tre funzioni e,f,g che soddisfano le equazioni ora accennate, le (10) defi- 

 niscono (insieme alle funzioni ff e G, che restano sempre le stesse) una con- 

 gruenza che si deduce dalla data per deformazione. 



7. Le espressioni di EG — F 2 e Eg — 2/F -j- Ge si calcolano imme- 

 diatamente; si trova 



EG - ¥*= ^ (eg - Pf , E? - 2/F + Ge = (eg - P)[e cat'tf + |-), 

 quindi — r- è un invariante rispetto alle deformazioni considerate. 



(eg — PY 



Indichiamo con K e H le due curvature (totale e media) della super- 

 ficie (S) normale alle rette della congruenza e definita dalle equazioni 



x 



+ tX, r^y + ìY, t = z + t1; (* = — U + C) 



con D x , D/ , D/' i coefficienti della seconda forma fondamentale di S. Si 

 ricava 



— Dx=r-* + *E, — D/ = /+*F, — D/'^ + ^G, 



e quindi 



n + 2„ G^ang 2 

 1 G] tang 2 a 



Te t 



+ ±—T* ^ + ' 



K " eg — p 1 eg — p 



(,cotV+|-) + 2^(^-D 



l + t^com+fy + f^eg- P) 



H = — 



Come si vede, le e , f, g entrano in queste espressioni per le combina- 



q 



zioni eg — p , e cot 2 o' + ±-. 



