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Matematica. — Un teorema sulle varietà algebriche a tre 

 dimensioni con infinite trasformazioni proiettive in sè. Nota del 

 prof. Gino Fano, presentata dal Socio Cremona. 



È noto che ogni curva algebrica, la quale ammetta un gruppo conti- 

 nuo oo 1 di trasformazioni proiettive in sè, è razionale. E così pure è razio- 

 nale ogni superficie algebrica, la quale ammetta un gruppo continuo tran- 

 sitivo (e perciò almeno oo 2 ) di trasformazioni proiettive ( 1 ). 



In questa Nota io mi propongo di dimostrare che anche per le varietà 

 algebriche a tre dimensioni sussiste la proposizione analoga alle precedenti ; 

 vale a dire che È razionale ogni varietà algebrica a tre dimensioni, la quale 

 ammetta un gruppo continuo transitivo (e quindi almeno oo 3 ) di trasforma- 

 zioni proiettive ( 2 ). 



Ci varremo a tal uopo della proposizione seguente: È razionale ogni 

 varietà algebrica a tre dimensioni la quale contenga una congruenza razio- 

 nale e del 1° ordine di curve razionali, dotata di superficie unisecante 

 (questa superficie potendo anche ridursi a una linea, ovvero a un solo punto). 

 Una tal varietà può infatti rappresentarsi birazionalmente sullo spazio S 3 , 

 riferendo la congruenza considerata a una stella di rette di questo spazio, e 

 rappresentando ogni curva di quella congruenza sul raggio corrispondente di 

 questa stella, in modo che alla superficie unisecante della congruenza corri- 

 sponda il centro della stella ( 3 ). 



Sia dunque V una varietà algebrica a tre dimensioni, G un gruppo pro- 

 iettivo dello spazio a cui questa varietà appartiene; e supponiamo che il 

 gruppo G trasformi in sè questa varietà, e sia transitivo rispetto ad essa. 



(1) Enriques, Le superficie con infinite trasformazioni proiettive in sè stesse (Atti 

 del R. Ist. Veneto, ser. 7 a , t. IV e V, 1893); Fano, Sulle superficie algebriche con infi- 

 nite trasformazioni proiettive in sè stesse (Rend. della R. Acc. dei Lincei, 1° sem., 1895). 



(2) La determinazione, già effettuata, di tutti i tipi di gruppi cremoniani continui 

 dello spazio S 3 (Enriques-Fano, / gruppi continui di trasformazioni cremoniane dello 

 spazio. Annali di Matem., ser. 2 a , t. XXVI; Fano, I gruppi di Jonquières generalizzati. 

 Meni, della R. Acc. di Torino, ser. 2 a , t. XLVIII. 1897-98) permetterà perciò di assegnare 

 anche per le varietà algebriche a tre dimensioni con un gruppo continuo transitivo di tras- 

 formazioni proiettive in sè, un numero finito (e precisamente = 16) di tipi determinati, 

 tali che quelle varietà possano tutte riferirsi birazionalmente a una di queste ultime, in 

 modo che si conservi il carattere proiettivo delle loro trasformazioni. 



(3) Enriques, Sulle irrazionalità da cui può farsi dipendere la risoluzione d" un' equa- 

 zione algebrica f(x y z) = 0 con funzioni razionali di due parametri (Math. Ann., t. XLIX, 

 pag. 20). 



