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Sia anzitutto G un gruppo integrabile^). Esso contiene allora almeno 

 un sottogruppo invariante oo 1 , il quale in questo caso può supporsi (al pari 

 di G) algebrico ( 2 ), e avrà perciò traiettorie algebriche e anzi razionali y. 

 Queste traiettorie formeranno sopra V una congruenza (algebrica) del 1° or- 

 dine, invariante rispetto a G, e dotata altresì di superficie unisecante ; perchè 

 i punti uniti che il gruppo oo 1 considerato ha sopra una qualunque delle y 

 devono descrivere al variare di questa curva, se distinti, due luoghi (super- 

 ficie, curve, . .) anche distinti, ciascuno unisecante le y medesime ( 3 ). E se 

 quei due punti uniti coincidessero sopra ogni y, si avrebbe un luogo unico, 

 anche unisecante le y. Rimane perciò soltanto a vedere se la congruenza 

 delle 7 sia razionale. 



Ora, dall' esistenza di questa varietà unisecante le y, si deduce immedia- 

 tamente che sopra V esistono anche infinite superficie e sistemi lineari di super- 

 ficie unisecanti le stesse y. Costruendo pertanto un sistema lineare di tali super- 

 ficie, il quale sia altresì semplice ( 4 ) e invariante rispetto a G (e ve ne saranno 

 certo infiniti), noi potremo rappresentare birazionalmente V sopra un' altra 

 varietà V, sulla quale alle y corrisponderanno rette c, e al gruppo G cor- 

 risponderà un gruppo anche proiettivo. Questo nuovo gruppo opererà dunque 

 proiettivamente e transitivamente sulla conguenza delle c; e quest'ultima 

 potrà perciò concepirsi come una superficie algebrica con un gruppo proiettivo 

 transitivo di trasformazioni proiettive in sè. Essa sarà dunque razionale, e 

 razionale sarà pure la congruenza delle y su V ( 5 ). 



Supponiamo ora che il gruppo G sia non integrabile. Esso contiene allora 

 almeno un sottogruppo oo 3 semplice ( 6 ) ; ed è noto che entro un tal gruppo 

 ogni sottogruppo oo 1 è algebrico ( 7 ). Il gruppo G conterrà perciò ancora dei 

 sottogruppi oo 1 algebrici; e le traiettorie di questi gruppi saranno ancora 

 curve razionali, formanti congruenze del 1° ordine dotate di superficie uni- 

 secanti. Queste congruenze potrebbero tutte coincidere ; e per quest' unica con- 

 gruenza, che sarebbe invariante rispetto a G, si potrebbe allora ripetere il 



0) Lie, Theorie der Transformationsgruppen, voi. I, p. 265 ; voi. Ili, p. 679-81. 



( 2 ) Enriques-Fano, Mem. cit., § 9. 



( 3 ) Enriques-Fano, Mem. cit., § 7. 



( 4 ) Tale cioè che le superficie di esso passanti per un punto generico di V non pas- 

 sino di conseguenza per altri punti variabili col primo. 



( 5 ) Questo ragionamento può estendersi, per induzione completa, al caso di una varietà 

 algebrica a un numero qualunque di dimensioni, la quale ammetta un gruppo continuo, 

 transitivo, integrabile di trasformazioni proiettive in sè. 



( 6 ) Lie, op. cit., voi, IH, p. 757. Cfr. anche Engel, Kleinere Beitràge zur Gruppen- 

 theorie, II (Leipz. Ber., 1887). 



( 7 ) Ciò risulta immediatamente dalle equazioni generali di un gruppo proiettivo sem- 

 plice oo 3 , che si trovano nel § 3 della mia Memoria : Sulle varietà algebriche con un gruppo 

 continuo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè (Mem. della R. Acc. di Torino, 

 Ber. 2 a , t. XLVI, 1895-96). 



